Title BÀI 5. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG.doc ✅

CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRÒN Bài 5 : Góc ở tâm. Số đo cung I. Tóm tắt lí lí thuyết 1) Góc ở tâm _ Định nghĩa : Góc ở đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm _ Hai cạnh của góc ở tâm cắt dường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung. Với các góc  thì cung nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ và cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn _ Cung AB được kí hiệu là AB . Trong đó cung AmB là cung nhỏ và cung AnB là cung lớn 2) Số đo cung _ Định nghĩa : Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) _ Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB 3) So sánh hai cung _ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu số đo của chúng bằng nhau _ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn Định lí : Nếu điểm C nằm trên cung AB thì : sđ AB sđ AC + sđ CB II .Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O;R). Tính độ dài của dây AB theo R nếu : a. 60AOB b. 90AOB c. 120AOB Định hướng lời giải : Ở cả 3 phần của bài toán này ta đều có AOB cân tại đỉnh O và ta đã biết số đo góc ở đỉnh và độ dài 2 cạnh nên việc tính độ dài cạnh thứ 3 là hoàn toàn không khó khăn khi chúng ta đã làm quen với nhiều bài toán như vậy ở chương hệ thức lượng trong tam giác Lời giải: a) Do OAOB mà 60AOB AOB là tam giác đều ABOAOBR b) Trong AOB vuông tại O, ta có : 22 sin45 OA ABOAR 
c) Kẻ OHABHAB Do AOB cân tại O nên OH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của AOB và cũng là phân giác trong của 1 60 2AOBBOHAOB Trong BOH vuông tại H có 3 .sin.sin6023 2BHOBBOHRRABBHR Nhận xét : Từ bài toán này ta thấy nếu biết góc ở tâm ta hoàn toàn có thể xác định được độ dài của dây cung đó. Và cách xác định hoàn toàn tương tự như phần c) của bài toán 1 Bài 2: Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O;R) cắt nhau tại M. Biết 2OMR . Tính số đo góc ở tâm  AOB Định hướng lời giải : Bài toán cho 2OMR nên nếu ta gọi I là giao của OM với (O) thì ta có MIMOIORI là trung điểm của OM mà AMO vuông tại A nên 1 2AIOMRAOI đều  60AOI Tương tự ta có 60120BOIAOBAOIBOI Lời giải: Gọi I là trung điểm của OM Trong AOM vuông tại A có đường trung tuyến AI 2 OM IMIOIAR OAAIOIRAOI đều  60AOI Tương tự có 60120BOIAOBAOIBOI Nhận xét : Ngoài cách làm trên ta cũng có thể sử dụng hệ các tỉ số của góc nhọn để tính các góc AOM và  BOM . Từ đó suy ra được AOB Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và ;OR cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính BOC của hai đường tròn (O;R) và BOD của đường tròn ;OR . So sánh số đo hai cung nhỏ AC và AD của 2 đường tròn biết RR Định hướng lời giải : Đề bài yêu cầu so sánh hai cung nhỏ AC và AD của 2 đường tròn tức là cần so sánh 2 góc AOC và AOD . Ta thấy ngay 2 tam giác AOC và AOD lần lượt cân tại O và O nên ta chỉ cần so sánh được hai góc ở đáy  OCA và ODA hay chính là 2 góc BCD và BDC . Mà ta lại có RRBCBD (vì BC, BD lần lượt là các đường kính của (O) và O ) BCDBDC . Từ đó ta sẽ suy ra được sđ AC sđ AD Lời giải: Theo giả thiết, ta có : 22RRRR Mà BC và BD lần lượt là đường kính của (O;R) và ;ORBCBD Trong BCD có BCBD  BDCBCD hay ODAOCA Mặt khác AOC và AOD lần
lượt cân tại O và O  180180 22 OCAADO AOCAOD   sđ AC sđ AD Nhận xét : Đây là bài toán khá cơ bản giúp bạn đọc nắm chắc kiến thức về số đo cung của đường tròn Bài 4: Chứng minh rằng : Nếu ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm ngoài đường tròn (O) sao cho ABC có 3 góc nhọn thì chu vi của đường tròn ngoại tiếp ABC không lớn hơn chu vi của đường tròn (O) Định hướng lời giải : Trước hết ta sẽ gọi bán kính đường tròn (O) là R và đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm O và bán kính R . Ta thấy ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm ngoài đường tròn (O) nên hai đường tròn (O;R) và ;OR phải giao nhau tại hai điểm hoặc tiếp xúc trong với nhau. Nếu 2 đường tròn tiếp xúc trong với nhau thì đường tròn (O;R) sẽ chứa đường tròn ;ORRR . Nếu 2 đường tròn cắt nhau, ta sẽ gọi M, N lần lượt là 2 giao điểm của 2 đường tròn này thì 2 điểm này sẽ thuộc cùng một cung tròn giả sử đó là cung AC . Và ta cũng dễ dàng chứng minh được M, N đều thuộc cung nhỏ AC . Tiếp theo ta sẽ vẽ đường kính MM thì M sẽ thuộc cung lớn ACM nằm trong đường tròn 222OMMRRRRR (đpcm) Lời giải: Giả sử đường tròn (O) có bán kính R Gọi ;OR là đường tròn ngoại tiếp của ABC Do ABC nhọn nên O nằm trong ABCO nằm trong đường tròn (O) Nếu đường tròn (O) chứa đường tròn O hoặc tiếp xúc trong với O thì rõ ràng RR Nếu 2 đường tròn (O) và O cắt nhau thì ta gọi M và N là 2 giao điểm của 2 đường tròn này Do 3 điểm A, B, C không có điểm nào nằm ngoài (O;R) nên rõ ràng M, N sẽ nằm trên cùng 1 cung tròn. Không giảm tổng quát giả sử đó là cung AC Ta có 2180AOCABC  AMNC là cung nhỏ của đường tròn O nên sđ 180AMNC  180MABCN Vẽ đường kính MM của đường tròn O  MMNB của đường tròn O Do đó MM không lớn hơn dây của đường tròn (O) chứa nó 2MMRRR Nếu 3 điểm A, B, C cùng thuộc (O) thì RR Vậy trong cả 3 trường hợp ta đều có RR  Chu vi đường tròn ngoại tiếp ABC không lớn hơn chu vi đường tròn (O) Nhận xét : Với bài toán này ta cần tìm được tất cả các vị trí tương đối của đường tròn ngoại tiếp ABC và đường tròn (O;R). Và trong các trường hợp thì ta thấy trường hợp hai đường tròn này cắt nhau thì ta sẽ phát hiện ra ngay giao điểm 2 đường tròn này sẽ thuộc cùng 1 cung nhỏ có dây là cạnh của ABC . Từ phát hiện này việc chứng minh là khá dễ dàng