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CHAPITRE 1 ÉQUATIONS DE MAXWELL - PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE Les quatre équations de Maxwell permettent d’expliquer tout phénomène électrique et magnétique. Cette théorie permet de prévoir la propagation des ondes électroma- gnétiques dans le vide à la vitesse de la lumière c. Les expériences de Michelson et Morley (1881 - 1887 ) confirment le caractère universel de cette vitesse. 1.1 Champ électromagnétique 1.1.1 Sources du champ électromagnétique Les sources du champ électromagnétique sont les charges de densité volumiques totale ρ(M, t) et les courants de vecteur densités volumiques −→j (M, t), avec −→j (M, t) = P i ρi −→vi ou −→vi est la densité de charges mobiles à la vitesse −→vi . 1.1.2 Équation de conservation de la charge Soit Q(t) la charge contenue, à l’instant t, dans un volume V fixe dans un référentiel d’étude. Le bilan de charge entre, les instants t et t + dt, s’écrit de la façon suivante : Q(t) = Q(t + dt) + dQech (1.1) avec dQech la charge échangée à travers la surface fermée S délimitant le volume V , entre les deux instants t et t + dt. D’où l’intensité du courant i à travers la surface S. i = dQech dt = Z Z S(V ) −→j · d −→S (1.2) Les équations (1.1) et (1.2) donnent : 1
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide − dQ dt = Z Z S(V ) −→j · d −→S (1.3) En remplaçant dans l’équation (1.3), Q par RRR ρdV on obtient la forme intégrale de l’équation de conservation de la charge donnée par l’équation (1.4). Z Z S(V ) −→j · d −→S + d dt Z Z Z V ρdV = 0 (1.4) Puis, en utilisant la formule de Green-Oestrogradsky : RR S(V ) −→j · d −→S = RRR V div−→j · dV ,permettant de transformer une intégrale double sur une surface fermée en une intégrale triple sur le volume délimité par la surface fermée, on obtient la forme locale de l’équation de conservation de la charge donnée par l’équation (1.4) (1.5). div−→j + dρ dt = 0 (1.5) 1.1.3 Force de Lorentz Une charge q en mouvement dans un champ électromagnétique −→E , −→B , avec une vi- tesse −→v au point M à l’instant t, subit la force de Lorentz −→F : −→F = q[ −→E (M, t) + −→v ∧ −→B (M, t)] (1.6) Remarque : Si −→B est nul, la force de Lorentz se réduit à −→F = q −→E , dite force électrique. 1.1.4 Équations de Maxwell Dans un référentiel galiléen, les équations de maxwell dans le vide, en présence de charges et de courants, s’écrivent, en un point M à l’instant t : div−→E = ρ ε0 (1) équation de Maxwell-Gauss (M-G) −→rot −→E = − ∂ −→B ∂t (2) équation de Maxwell-Faraday (M-F) div−→B = 0 (3) équation de Maxwell-Flux (M-Φ) −→rot −→B = μ0 −→j + μ00 ∂ −→E ∂t (4) équation de Maxwell-Ampère (M-A) Les équations (1) et (2) expriment les propriétés intrinsèques de −→E (enV.m−1 ) et −→B (enT), alors que les équation (3) et (4) relient les champs avec les sources qui les créent. Valeurs numériques : c = 3.108ms−1 , 1 4π0 = 9.109F −1 , μ0 4π = 10−7H.m−1 et μ00c 2 = 1 2
Champ électromagnétique Remarque : On peur établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell. 1.1.5 Contenu physique des équations de Maxwell — L’équation (1) de M-G donne : Z Z S(V ) −→E · d −→S = Qint 0 (1.7) → C’est le théorème de Gauss, valable aussi en régime variable. — L’équation (2) de M-F donne : I C −→E · d −→` = − dΦ dt (1.8) → C’est le théorème de Faraday, avec Φ = RR S −→B · d −→S à travers la surface s’ap- puyant sur le contour fixe dans le référentiel galiléen d’étude. — L’équation (3) de M-Φ donne : Z Z S(V ) −→B · d −→S = 0 (1.9) → Le champ −→B est à flux conservatif. — L’équation (4) de M-A donne : I C −→B · d −→` = μ0 Z Z S −→j d−→S + 1 c 2 Z Z S ∂ −→E ∂t · d −→S (1.10) → C’est le théorème d’Ampère généralisé. 1.1.6 Équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide Dans le vide, en absence de charges et de courants, les équations de Maxwell de- viennent : div−→E = 0 (1) équation de Maxwell-Gauss (M-G) −→rot −→E = − ∂ −→B ∂t (2) équation de Maxwell-Faraday (M-F) div−→B = 0 (3) équation de Maxwell-Flux (M-Φ) −→rot −→B = μ00 ∂ −→E ∂t (4) équation de Maxwell-Ampère (M-A) Soit −→X ( −→E , −→B ...), le vecteur −→X vérifié l’équation suivante : −→rot −→rot( −→X) = −−→grad div−→X − ∆ −→X (1.11) 3
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 1.1.6.1 Équations de propagation du champ électrique L’équation 1.11 permet d’écrire pour le champ électrique : −→rot −→rot( −→E ) = −−→grad div−→E − ∆ −→E En utilisant les équations (1) et (2), on obtient : −→rot (− ∂ −→B ∂t ) = −∆ −→E ⇒ − ∂ ∂t( −→rot( −→B )) = −∆ −→E En remplaçant : −→rot −→B par μ00 ∂ −→E ∂t = 1 c 2 ∂ −→E ∂t (MA) , on obtient l’équation de propa- gation du champ −→E , donnée par : ∆ −→E − 1 c 2 ∂ 2−→E ∂t2 = −→0 (1.12) De même on démontre l’équation de propagation du champ −→B , donnée par : ∆ −→B − 1 c 2 ∂ 2−→B ∂t2 = −→0 (1.13) Les équations 1.12 et 1.13 sont dites : Équations de D’ALEMBERT. 1.1.7 Potentiels électromagnétique 1.1.7.1 Passage des champs aux potentiels L’équation (3) de Maxwell-flux conduit à définir le potentiel vecteur −→A(M, t) par : −→B = −→rot −→A (1.14) En remplaçant −→B par −→rot −→A dans l’équation (2) de Maxwell-Faraday, on obtient : −→rot( −→E + ∂ −→A ∂t ) = 0 Ceci permet de définir le potentiel scalaire V (M, t) par : −→E = − −−→gradV − ∂ −→A ∂t (1.15) Remarque : Les potentiels −→A et V ne sont pas définis de manière unique. 4