Title 1. PP NGUYEN HAM-HS.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1:NGUYÊN HÀM A – TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Nguyên hàm của một hàm số: Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x f x '( ) = ( ) với mọi x K . Chú ý: Trường hợp K a b =  ;  thì F a f a F b f b '( ) ( ); '( ) ( ) = = . Tức là ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ); lim ( ) x a x b F x F a F x F b f a f b x a x b → → + − − − = = − − Định lí: 1) Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C ( ) = + ( ) cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên K . 2) Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( ) trên K đều có dạng F x C ( ) + , với C là một hằng số. Do đó F x C C ( ) +  , là họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) trên K . Ký hiệu f x d F x C ( ) x = + ( )  . Chú ý: • Để tìm họ các nguyên hàm(gọi tắt là nguyên hàm) của hàm số f x( ) trên K ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F x( ) của f x( ) trên K và khi đó f x d F x C ( ) x = + ( )  (với • Mọi hàm số f x( ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . • Biểu thức f x dx ( ) được gọi là vi phân của nguyên hàm F x( ) của f x( ) , kí hiệu là dF x( ) Vậy, dF x F x dx f x dx ( ) = = '( ) ( ) • Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà khoogn chỉ rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó. • f '( x )dx f ( x ) C = +  2. Tính chất của nguyên hàm
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Tính chất 1: ( f x d f x ( ) x) ( )  =  và f x d f x C ' x ( ) = + ( )  Tính chất 2: kf x d k f x d ( ) x x = ( )   với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:   f x g x d f x d g x d ( )  =  ( ) x x x ( ) ( )      4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp d x C x = +  ( ) 1 1 x 1 1 x d x C     + = +  − +  1 d x C x ln x = +  x x x e d e C = +  x 0, 1 ( ) ln x x a a d C a a a = +    sin dx cos x x C = − +  cos xdx sin = +x C  2 1 x tan cos d x C x = +  2 1 x cot sin d x C x = − +  B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: I-Dạng 1: Chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K Phương pháp: Ta chứng minh F x f x '( ) = ( ) với mọi x K . Ví dụ 1. Chứng minh rằng a) Hàm số ( ) 3 F x x = là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 f x x = 3 trên khoảng (− + ; ) b) Hàm số F x x ( ) = tan là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 cos f x x = trên khoảng ; 2 2       −   c) Hàm số F x x ( ) ln = là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x x = trên khoảng (0;+) Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Ví dụ 2. a) Hàm số F x x ( ) = cos là một nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao? b)Hàm số F x x ( ) = cot là một nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao? c) Hàm số ( ) 7 x F x = là một nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3. Chứng minh rằng a) ( ) 2 F x x x = − − 5 1 là nguyên hàm của hàm số f x x ( ) = − 2 5 trên b) Hàm số ( ) x F x e x = + là nguyên hàm của hàm số ( ) 1 x f x e = + trên Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 4. Chứng minh rằng các hàm số ( ) x F x e = , ( ) 1 x G x e = + , ( ) 100 x H x e = − đều là nguyên hàm của hàm số ( ) x f x e = trên Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 5. Chứng minh rằng các hàm số ( ) 2 1 x F x e + = là nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 2 x f x e + = trên Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 6. Biết rằng hàm số ( ) x F x xe = là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) x f x ax b e = + trên . Giá trị a b + bằng bao nhiêu? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 7. Biết rằng hàm số F x x x ( ) = − 5sin 2 4cos5 là nguyên hàm của hàm số f x a x b x ( ) = + sin5 cos 2 trên . Giá trị a b− bằng bao nhiêu? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 8.Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F x( ) có là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 a) F x x x ( ) = ln và f x x ( ) = +1 ln trên khoảng (0;+) b) ( ) sin x F x e = và ( ) cos x f x e = trên Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 9: Tìm đạo hàm của hàm số ( ) ( ) 2 F x x x = + − ln 4 . Từ đó tìm 2 1 x 4 d x +  Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 10: Biết ( ) ( ) 2 x f x ax bx c e− = + + là một nguyên hàm của hàm số ( ) (1 ) x g x x x e − = − . Tính S a b c = + + 2 2015 Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 11: Cho hai hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 F x ax a b x a b c x = + + + − + + 2 1 và ( ) 2 f x x x = + + 3 6 2 . Biết rằng F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) . Hãy tính tổng S a b c = + + Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- II-Dạng 2: Tìm nguyên hàm của các hàm cơ bản Phương pháp: Dùng các tính chất và của một số hàm số thường gặp 2.1)Nguyên hàm của hàm số lũy thừa d x C x = +  ( ) 1 1 x 1 1 x d x C     + = +  − +  1 d x C x ln x = +  Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số a) ( ) 2 f x x = + 3 1 b) ( ) 2 f x x x = + + 3 2 5 c) ( ) 2 2 1 1 3 f x x x = − − Lời giải