Title Chương 4_Bài 4_ _Toán 12_CD_Lời giải.doc.pdf ✅

BÀI 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x = ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a x b = = , Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn a ;b. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x = ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a x b = = , là:  d . b a S f x x = ò Ví dụ 1. Cho hàm số 3 y x = có đồ thị như Hình 12 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3 y x = , trục {Ox} và hai đường thẳng x x = - = 1, 1. Lời giải Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3 y x = , trục {Ox} và hai đường thẳng x x = - = 1, 1 là: 1 0 1 3 3 3 1 1 0 x x x x x x d d d - - = + ò ò ò   0 1 0 1 4 4 3 3 1 0 1 0 d d 4 4 x x x x x x - - = - + = - + ò ò 1 1 1 1 1 0 0 . 4 4 4 4 2 é ù æ ö æ ö = - - + - = + = ê ú ç ÷ ç ÷ ë û è ø è ø 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y f x y g x = = ( ), ( ) và hai đường thẳng x a x b = = , Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho các hàm số y f x y g x = = ( ), ( ) liên tục trên đoạn a ;b . . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y f x y g x = = ( ), ( ) và hai đường thẳng x a x b = = , là: ( ) ( )d . b a S f x g x x = - ò Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3 y x x = + + 2 1, 3 y x x = + + 3 và hai đường thẳng x x = = 1, 3. Lời giải
Diện tích hình phẳng đã cho là:     3 3 2 3 3 3 1 1 1 2 S x x x x x x x x x x x = + + - + + = - = - + - 2 1 3 d 2d 2d 2d ò ò ò ò 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 (2 )d ( 2)d 2 2 1. 2 2 x x x x x x x x æ ö æ ö = - + - = - + - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 1 1 5 1 2 2 2 , 2 2 2 2 y x x y x x = - + = - - và hai đường thẳng x x = = 1, 4 . Lời giải Ta có: 1 1 5 1 2 2 2 2 2 2 2 - + > - - x x x x vối mọi xÎ[1;4] (Hình 15). Vậy diện tích hình phẳng đó là: 4 2 2 1 1 1 5 1 2 d 2 2 2 2 S x x x x x ææ ö æ ö = - + - - - çç ÷ ç ÷ èè ø è ø ò 4 2 2 1 1 1 5 1 2 d 2 2 2 2 x x x x x é ù æ ö æ ö = - + - - - ê ú ç ÷ ç ÷ ë û è ø è ø ò 4 2 1 9 1 d 2 2 x x x æ ö = - + + ç ÷ è ø ò 4 4 4 3 2 1 1 1 9 135 3 57 21 . 3 4 2 4 2 4 x x x = - + + = - + + = Ví dụ 4. Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, hoạ sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 16 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). a) Lập phương trình các parabol y f x = ( ) và y g x = ( ) . b) Tính diện tích của logo.
c) Logo chỉ cho phép 50% lượng ánh sáng đi qua. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lời giải a) Giả sử parabol y f x = ( ) cho bởi 2 f x ax bx c a ( ) ( 0) = + + 1 . Do parabol y f x = ( ) đi qua điểm D(0;2) nên c = 2 , suy ra 2 f x ax bx a ( ) 2( 0) = + + 1 . Vì parabol y f x = ( ) đi qua các điểm C E ( 4;0), (4;0) - nên ta có: 16 4 2 0 16 4 2 0. a b a b ì - + = í î + + = Hệ phương trình trên có nghiệm là 1 , 0 8 a b = - = . Vậy 1 2 ( ) 2 8 f x x = - + . - Giả sử parabol y g x = ( ) cho bởi   2 1 1 1 1 g x a x b x c a ( ) 0 = + + 1 . Do parabol y g x = ( ) đi qua điểm G(0; 3) - nên 1 c = -3, suy ra   2 1 1 1 g x a x b x a ( ) 3 0 = + - 1 . Vì parabol y g x = ( ) đi qua các điểm C E ( 4;0), (4;0) - nên ta có: 1 1 1 1 16 4 3 0 16 4 3 0 a b a b ì - - = í î + - = Hệ phương trình trên có nghiệm là 1 1 3 , 0 16 a b = = . Vậy 3 2 ( ) 3 16 g x x = - . b) Diện tích của logo là: 1 2 S S S = + , trong đó 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol 1 3 2 2 ( ) 2, ( ) 3 8 16 f x x g x x = - + = - và hai đường thẳng x x = - = - 5, 4 ; 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol 1 3 2 2 ( ) 2, ( ) 3 8 16 f x x g x x = - + = - và hai đường thẳng x x = - = 4, 4 . Do đó, ta có: 4 4 5 4 S f x g x x f x g x x ( ) ( )d ( ) ( )d - - - = - + - ò ò     4 4 5 4 g x f x x f x g x x ( ) ( ) d ( ) ( ) d - - - = - + - ò ò
4 4 2 2 2 2 5 4 3 1 1 3 3 2 d 2 3 d 16 8 8 16 x x x x x x - - - é ù é ù æ ö æ ö æ ö æ ö = - - - + + - + - - ê ú ê ú ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ë û ë û è ø è ø è ø è ø ò ò 4 4 2 2 5 4 5 5 5 d 5 d 16 16 x x x x - - - æ ö æ ö = - + - + ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò 4 4 4 4 3 3 5 4 5 4 5 5 5 5 48 48 x x x x - - - - - - = - - + 305 640 1345 5 40 . 48 48 48 = - - + = Vậy   1345 2 dm 48 S = . c) Gọi t là lượng ánh sáng đi qua mỗi 2 dm của logo. Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo là 1345 48 t . Mặt khác, diện tích của cửa sổ là   2 (8 1) (2 3) 45 dm + × + = và lượng ánh sáng đi qua mỗi 2 dm của phần cửa sổ nằm ngoài logo là 2t . Suy ra, lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là 45 2 90 × =t t và lượng ánh sáng đi qua phần cửa sổ nằm ngoài logo là: 1345 815 45 2 . 48 24 t t æ ö ç ÷ - = è ø Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là:1345 815 2975 . 48 24 48 t t t + = Tỉ số phần trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so với lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là: 2975 297500 : 90 100% % 68,9%. 48 4320 t t æ ö ç ÷× = » è ø Vậy lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là: 100% 68,9% 31,1%. - = II. TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH KHỐI 1. Thể tích của vật thể Trong trường hợp tổng quát (Hình 18), ta có định lí sau: Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x a = và x b a b = < ( ). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox .tại x a x b ( ) £ £ cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S x( ) . Giả sử hàm số