Title Đề Thi Olympic Toán Duyên Hải Bắc Bộ 2017-2018 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

1 KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2018 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP: 10 (Đáp án gồm 06 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Lào Cai. Giải hệ phương trình         2 2 2 4 2 2 2 1 , 4 2 28 3 4 4 2 x y y x x x y x y y x                   . Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM Cách 1 Điều kiện: 2 28 0 3 x y          Xét phương trình (1):   2 2 2 2 x y y x x x x y y             4 2 2 2 ( 2) 2 2 2 0,5đ Nếu 2 2 x y x x y y          2 0 ( 2) 2 2 2 . Nếu 2 2 0 2 ( 2) 2 2 2          x y x x y y . Vậy x y   2 . 0,5đ Thay y x   2 vào (2) ta được phương trình 2 4 2 22 3 8 (*) x x x      0,5đ     2         4 2 1 22 3 5 1 x x x 4( 1) 3( 1) ( 1)( 1) 0 2 1 22 3 5 x x x x x x             0,5đ 1 4 3 1 0 (**) 2 1 22 3 5 x x x x                0,5 đ Với    2 2, x thì 4 3 (**) 2 1 0 2 2 1 22 3.2 5 VT          0,5 đ Với 22 2 3  x thì 4 3 (**) 2 1 0 2 2 1 22 3.2 5 VT          . Do đó (*) có nghiệm duy nhất x  2. 0,5đ Vơi x y     1 1 (thỏa mãn điều kiện). Với x y    2 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy hệ phương trình đã có hai nghiệm ( 1;1);(2;4)  . 0,5 đ ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
2 Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM Cách 2 Điều kiện: 2 28 0 3 x y          Ta thấy hệ không có nghiệm 2 0 x y       . Xét y x    2 0     2 2 2 2 4 2 2 2 ( 2) 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) 0 2 2 2 0 Do ( 2 ) 0 2 2 x y y x x x y y x x y x y y x x y x y y x y x                                                 Thay y x   2 vào (2) ta được phương trình 2 4 2 22 3 8 (*) x x x      . 0,5đ 0,5đ 0,5đ     2 2 (*) 12 2 3 22 3 3 24 4 3 2 (x 4) 3 22 3 (14 ) 3 3 6 x x x x x x x x                  0,5đ   2 4 9( 2) (x 4) 2 9(22 3 ) (14 ) 3( 1)( 2) 3 2 (x 4) 3 22 3 (14 ) 4( 1)( 2) ( 1)( 2) 3( 1)( 2) 3 2 (x 4) 3 22 3 (14 ) ( 1)( 2) 0 4 1 3 0 3 2 (x 4) 3 22 3 (14 ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                    1,0đ Do 22 2 3   x nên 4 1 3 0 3 2 (x 4) 3 22 3 (14 ) x x x          Do đó phương trình (*) có hai nghiệm x x    1; 2 . 0,5đ Vơi x y     1 1 (thỏa mãn điều kiện). Với x y    2 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy hệ phương trình đã có hai nghiệm ( 1;1);(2;4)  . 0,5đ Bài 2: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam. Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Các đường cao AD BE CF , , cắt nhau tại H . Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên BC và J là điểm nằm trên tia OK sao cho 2 OK OJ R .  . Các đường thẳng HK và EF cắt nhau tại I, các đường thẳng BC và EF cắt nhau tại P. 1. Chứng minh rằng ID vuông góc với OP. 2. Chứng minh rằng các điểm I J D , , thẳng hàng.

4 Bài 3: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Quốc học Huế - Thừa Thiên Huế Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho 2018n được biểu diễn dưới dạng tổng lập phương của 2019 số nguyên chẵn liên tiếp. Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM Giả sử tồn tại số nguyên dương n để cho 2018 3 0 2018 (2 2 ) n i k i     với k Z. Khi đó   2018 2018 2018 2018 2018 3 2 2 3 3 2 2 3 0 0 0 0 0 2018 8 24 24 8 8 24 24 8 . n i i i i i k k i ki i k k i k i i                   1,0đ Ta có 2018 3 3 0 8 8.2019 i k k    chia hết cho 2019. Bằng quy nạp, chứng minh được rằng 0 ( 1) . 2 n i n n i     Suy ra 2018 2018 2 0 0 2018.2019 24 i i 2 i k i       chia hết cho 2019. 1,0đ Tương tự, bằng quy nạp, chứng minh được các công thức 2 0 ( 1)(2 1) 6 n i n n n i      và 2 2 3 0 ( 1) . 4 n i n n i     Suy ra 2018 2018 2 2 0 0 2018.2019.4037 24 i i 6 i k i       chia hết cho 2019 và 2018 2018 2 2 2 3 0 0 2018 .2019 8 i i 4 i i       chia hết cho 2019. 1,0đ Vậy 2018 2 .1009 n n n  chia hết cho 2019 3 673   và điều này là mâu thuẫn. Vậy không tồn tại số nguyên dương n sao cho 2018n được biểu diễn dưới dạng tổng lập phương của 2019 số nguyên chẵn liên tiếp. 1,0đ Bài 4: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Hoàng Lê Kha - Tây Ninh. Cho 3 số thực không âm x y z , , . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 3 3 . 3 3 3 8 8 x y z x y z x y z          Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schawarz ta có   2 2 2 2 3 x y z x y z      Suy ra   3 3 3 3 3 2 2 2 8 8 8 8 x y z x y z        0,5đ 0,5đ