Title Chủ đề 7.2 - MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH TN THPT QUỐC GIA.doc ✅

Trang 1/100 Bài 102. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn Minab;bc;ca0 và 222abc2abbcca . Chứng minh rằng: 222222 abbcca1 abbcca2  Phân tích và lời giải Trước hết ta phân tích các giả thiết của bài toán, từ Minab;bc;ca0 ta suy ra được trong các tổng trên không có tổng nào bằng không và từ giả thiết thứ hai ta thu được trong các biến a, b, c chỉ có có thể có một biến bằng 0. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab;c0 và các hoán vị của nó. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc mẫu của các biểu thức. Do đó ta hướng đến biến đổi các biểu thức trước. Chú ý đến phép biến đổi 22 2222 abab ab abab    . Để đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra ta nhân với 2 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 222222 222222 2abab2bcbc2caca 1 abbcca    Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 222222 2abab 2ab.2ab2ab ababab    Áp dụng tương tự ta được 2222 22222222 2bcbc2caca 2bc2ca ; bcbccaca    Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 222222 222222222222 2abab2bcbc2caca 2ab2bc2ca abbccaabbcca    Khi đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 222222 2ab2bc2ca 1 abbcca  Để ý là 222 222222222222 abbcca2ab2bc2ca 3 abbccaabbcca    Lúc này áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được       2222 222222222 222 222 abbcca2a2b2c abbcca2abc 2abc2ab2bc2ca8abbcca 4 2abbcca2abc       Do đó ta có 222222 2ab2bc2ca 1 abbcca  Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab;c0 và các hoán vị. Bài 103. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc1 . Chứng minh rằng:
Trang 2/100 abbcca1 ab2cbc2aca2b2  Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức trên ta thấy được một số ý tưởng tiếp cận như sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để khử các căn bậc hai, đổi biến để đơn giản hóa giả thiết,… Cách 1: Trước hết với ý tưởng khử các căn bậc hai, ta chú ý đến đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 24ab2c112ab2cab2c Khi đó kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được  ab2ab2ab1abab ab2c2ab2cacbc 4ab2c      Áp dụng tương tự ta có bc1bcbcca1caca ; bc2a2ca2b2abacabbc      Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được abbcca11abc ab2cbc2aca2b22  Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 abc 9 . Cách 2: Đặt xa;yb;zc . Từ giả thiết ta suy ra xyz1 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 222222222 xyyzzx1 2 xy2zyz2xzx2y   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22222224xy2z112xy2zxy2z Do đó ta có 222222 xy2xy2xy1xyxy xy2z2xzyz xy2z4xy2z      Áp dụng tương tự ta được 222222 yz1yzyzzx1zxzx ; 2xyxz2xyyz yz2xzx2y      Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 222222222 xyyzzxxyz1 22 xy2zyz2xzx2y    Bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 104. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 111 1 abc . Chứng minh rằng:
Trang 3/100 222 bccaab 2 abc   Phân tích và lời giải Từ giả thiết của bài toán thì suy nghĩ rất tự nhiên là đổi biến 111 x;y;z abc , khi đó giả thiết trở thành xyz1 và bất đẳng thức được viết lại là 222xyzyzxzxy 2 yzzxxy   Quan sát bất đẳng thức trên ta có các cách xử lý như sau Cách 1: Chú ý đến dụng bất đẳng thức Cauchy ta được các đánh giá 222xyyzzx xy;yz;zx 444   Khi đó ta được bất đẳng thức sau   222 222 xyzyzxzxy4x4y4z yzzxxyyzzxxy    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta có   2 222 4xyz4x4y4z 2xyz2 yzzxxy2xyz    Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc3 . Cách 2: Biến đổi bất đẳng thức thành 2221111111 xyz yzzxxy2     Theo một đánh giá quen thuộc ta có    22 2 22 2 22 2 11x114x xyz yzyzyzyz 11y114y yzx zxzxzxzx 11z114z zxy xyxyxyxy                Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 222 2221111114x4y4z xyz yzzxxyyzzxxy      Đến đây đánh giả tương tự như cách 1 hoặc có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau đây   222222 2 2 4x4y4z4x4y4z 2xyyzzx yzzxxyyzzxxy xyz 2yzzxxy2xyz2 yzzxxy            Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 105. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: