Title A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN.doc ✅

Trang 1 Chương 2 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN § 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1. Định nghĩa Phân thức đại số (hay nói gọn, phân thức) là một biểu thức có dạng A , B trong đó, A, B là các đa thức và B khác đa thức 0. Lúc đó, A được gọi là tử thức (hay nói gọn: tử); B được gọi là mẫu thức (hay mẫu). Vì 1 là một đa thức đặc biệt, nên một đa thức cũng chính là một phân thức với mẫu bằng 1. Nói riêng, các đơn thức, các hằng số, cũng là những phân thức. Đặc biệt, 0 là một phân thức (thường được gọi là phân thức tầm thường). Một phân thức bằng không khi và chỉ khi tử thức bằng 0 và mẫu thức khác 0. Ví dụ 1. 92 252 231 34;;;; 4757x 45xab12x4 x18x6ac1   là các phân thức. 1.2. Hai phân thức bằng nhau Cho hai phân thức AC và. BD Khi đó: AC BD nếu ADBC. Ví dụ 2. 2332x11vìxlxxyl xl. xlxxyl    1.3 Tính chất cơ bản của phân thức 1.3.1 Tính chất 1 Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một phân thức khác đa thức 0, ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: AA.M , BB.M trong đó A, B, M là các đa thức và M0. Chứng minh. Ta có: A.(B.M) = B.(A.M) nên theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có: AA.M . BB.M Ví dụ 3. 44 223 3 xabxab . mnymny az az 1.3.1. Tính chất 2 Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: AA:N , BB:N trong đó A, B, là các đa thức và N là nhân tử chung của A và B. Chứng minh. Ta có A.B:NA.B:NB.A:N nên theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có: AA:N . BB:N Chú ý. ở đây, giả thiết N là nhân tử chung của A và B được nêu lên với mục đích phép chia phân thức ở tử và mẫu là phép chia hết. 1.3.2. Hệ quả (quy tắc đổi dấu) Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:
Trang 2 AA . BB    Ví dụ 4. 22 2828 3x7z3x7z 6abxy6abxy    BÀI TẬP 2.1 Điền vào chỗ có ba dấu chấm (...):   322 32 22 yylx1yy1 baxlx; 1...     4 1 xlx2 x... . x2    §2. RÚT GỌN PHÂN THỨC QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC 2.1 Rút gọn phân thức Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:  Phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.  Chia tử và mẫu thức của phân thức cho nhân tử chung (nhân tử chung khác không). Ví dụ 5. Rút gọn phân thức 2 2 xxa 7aa. 7x   Giải. Ta có:   2 2 xxaxxa 7a7xa7axa x . 7a      Ví dụ 6. Rút gọn phân thức   222 222 xalaax1 xalaax. 1   Giải. Ta có:   22222222 22222 xa1aax1xaxaaax1 xaalaalaalx1;      22222222 222 22 xal aax1xaxaaax1 xaalaal aalx1.      Vậy:     22222 2 222222 xalaax1aalx1aal . aalxalaax1aalx1      2.2. Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức Việc quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức cũng tương tự như việc quy đồng mẫu số các phân số. Để quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức, ta thường tiến hành như sau: * Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung; * Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức; * Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Ví dụ 7. Quy đồng mẫu thức của các phân thức:
Trang 3 a) 44 axaxx ,,; ababab     b) 23 32 xx2x5b 1x1,,12. xx    Giải. a) Ta có 4422abababab. Mẫu thức chung: 44ab Vậy: 22 44 axababax , aabb     22 44 axababax , aabb     4444 xx abab.  b) Ta có mẫu thức chung là: 32xlxlxxl 22 33 x2x5x2x5 xlxl,   333 233 x1x12xx ,12. x b1b x11xx1      BÀI TẬP 2.2 Quy đồng mẫu thức của các phân thức: a) 2 2x53x23 ,,; x3xx9   b)  2233 abxabx2 ,,; 2abaabb   c) 5 2 x28xyz ,,. x1x3 b 2x3x ax    2.3. Cộng, trừ các phân thức Đối với các phép tính cộng trừ nhân chia các phân thức đại số, ta cũng có cách làm tương tự như vối các phân số. 2.3.1. Phép cộng các phân thức đại số Muốn cộng phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức rồi rút gọn các phân thức vừa tìm được. ACAC . BBB   Nếu các phân thức khác mẫu thức thì ta quy đồng mẫu thức rồi cộng theo quy tắc trên. Ví dụ 8. 232 88 5x3x25xx3x abxy 2 abxy     232 8 5x3x25xx3x2 abxy   32 8 5x6x aby. x   Ví dụ 9.
Trang 4 Thực hiện phép tính: 222222bcaacbbccababcac 11 ab 1 A ()(bcaab)c  Giải. Ta có: 22aacbbcabab.cabababc Tương tự: 22babcacbcabc và 22cbcaabcaabc. Do đó:  11 abbcabcc 1 A abcabcabcaabc     caabbc abbccaa0. bc   2.3.2. Tính chất của phép cộng các phân thức - Giao hoán: ACCA . BDDB - Kết hợp: ACEACE . BDFBDF     - Phân thức 0 là một phần tử trung hòa, nghĩa là: AAA 00. BBB 2.3.3. Phép trừ các phân thức đại số Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu chúng có tổng bằng 0. Phân thức đối của phân thức A B được kí hiệu là A . B Ta có: AAAAA và. BBBBB     Phép trừ hai phân thức: Muốn trừ A B cho C , D ta lấy A B cộng với phân thức đối của C . D ACAC . BDBD     Ví dụ 10.    bcacabcacaca ; bcbababa bac babcbabc     12 2322321232 2 1 xxl x1 x1 . xxxx1x1xxxxx    Chú ý. Phép trừ không có tính giao hoán và kết hợp như phép cộng. BÀI TẬP 2.3 Tính abbaca A. acabbcbabcac  2.4. Nhân chia các phân thức đại số 2.4.1. Phép nhân các phân thức đại số Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau rồi rút gọn phân thức vừa tìm được. ACA.C .. BDB.D Ví dụ 11.