Title Chương 8_Bài 24_ _Lời giải_Toán 10_KNTT.pdf ✅

BÀI 24. HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Hoán vị Khi sắp xếp n phần tử của một tập hợp theo một thứ tự, ta được một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử ( 1) n 3 bằng = - - 1⁄4 ( 1)( 2) 2.1 P n n n n . 2. Chỉnh hợp Cho tập hợp A có n phần tử ( n 31) và số nguyên k với 1£ £ k n . Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ) £ £ k n bằng ! ( 1)( 2) ( 1) . ( )! = - - 1⁄4 - + = - kn n A n n n n k n k 3. Tổ hợp Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ) £ £ k n của một tập hợp gồm n phần tử được gọi là một tổ h ợp chập k của n phần tử đó. Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ) £ £ k n bằng ! !( )! = - kn n C k n k . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Hoán vị 1. Phương pháp Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 3  Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu nP là số hoán vị của n phần tử. Ta có công thức sau: ! P n n = 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hướng dẫn giải Một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là một hoán vị của năm chữ số đó. Vậy có tất cả 5! 120 = (số). Ví dụ 2: Người ta xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Hóa và 3 quyển sách Lý lên một giá sách theo từng môn. Hỏi có nao nhiêu cách sắp xếp? Hướng dẫn giải Có 3 môn học nên có 3! cách xếp sách theo môn. Trong đó có 5! cách xếp sách Toán, 4! cách xếp sách Hóa, và 3! cách xếp sách Lý. Vậy số cách xếp tất cả là: 3! 4! 5! 3! 103680. ́ ́ ́ = Ví dụ 3: Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp để cho học sinh nam và nữ xen kẽ nhau. Hướng dẫn giải TH 1: Xếp 5 bạn nam vào vị trí lẻ và 5 bạn nữ vào vị trí chẵn có: 5!5! TH 2: Xếp 5 bạn nam vào vị trí chẵn và 5 bạn nữ vào vị trí lẻ có: 5!5! Vậy có 5!5! 5!5! 28800 + = Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách dán 5 con tem khác nhau vào 5 phong bì khác nhau và mỗi phong bì một tem? Hướng dẫn giải
Số cách dán 5 con tem vào 5 phong bì theo đề bài là số cách xếp có thứ tự 5 con tem vào 5 vị trí. Đó chính là số hoán vị của 5 phần tử. Do đó đáp số là 5 P . Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách xếp 5 nam và 3 nữ ngồi trên một băng ghế dài sao cho nam ngồi kề nhau và nữ ngồi kề nhau? Hướng dẫn giải • Xem 5 nam và 3 nữ lần lượt như 2 phần tửa vàb. • Số cách sắp xếpa vàb vào 2 vị trí là: = 2 P 2 (cách). • Mỗi cách hoán vị 5 nam và 3 nữ cho nhau trong cùng một vị trí ta luôn thêm 5! 3! ́ cách xếp khác nhau. Vậy số cách xếp theo yêu cầu bài toán là: 2 5! 3! 1440. ́ ́ = Dạng 2. Chỉnh hợp 1. Phương pháp Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 . 3  Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: = - - - + = £ £ - kn n! A n(n 1)(n 2)...(n k 1) , 1 k n (n k)! 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Từ 10 bông hoa có chủng loại khác nhau và 4 cái lọ khác nhau, có bao nhiêu cách cắm 4 bông hoa vào 4 lọ và mỗi lọ 1 bông hoa? Hướng dẫn giải Số cách cắm 4 bông hoa từ 10 bông hoa khác nhau vào 4 lọ khác nhau là một bộ 4 bông hoa có thứ tự. Ví dụ: Gọi 4 bông hoa được chọn là A, B, C, D và 4 lọ hoa là a b g d , , , . Hai cách cắm sau đây là khác nhau: a b g d a b g d A B C D B A C D Do đó số cách cắm bông theo yêu cầu bài toán là 4 A . 10 Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 1? Hướng dẫn giải Cách 1: Đem chữ số 1 xếp trước - Số cách xếp chữ số 1 vào 1 trong 4 vị trí là: 4 (cách) - Số cách xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại là 3 A4 (cách) Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: ́ = 3 4 4 A 96 (số). Cách 2: Dùng phần bù: - Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số 1) lấy từ 1,2,3,4,5 là = 4 A 120 5 (số) - Phần bù của tập các số phải có chữ số 1 là tập các số không có chữ số 1.
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (và không có chữ số 1) lấy từ 2,3,4,5 là = 4 P 24 (số) Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 120 24 96 - = (số). Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau đôi một? Hướng dẫn giải Do đó số cách thành lập các số tự nhiên theo yêu cầu bài toán là số các chỉnh hợp chập 3 của 6 (chữ số): 3 A . 6 Ví dụ 4: Từ 10 điểm phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể lập được bao nhiêu vectơ? Hướng dẫn giải Để có một vectơ ta cần có 2 điểm phân biệt và để ý hai vectơ uuur AB và uuur BA là khác nhau. Do vậy số cách thành lập các vectơ là số cách chọn 2 điểm có thứ tự từ 10 điểm của đề bài. Nghĩa là số cách thành lập các vectơ là số các chỉnh hợp chập 2 của 10 (điểm): 2 A . 10 Ví dụ 5: Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh nam thi toán, lý và 2 học sinh nữ thi hóa, sinh? (Mỗi học sinh thi một môn). Hướng dẫn giải Số cách chọn 2 trong 20 nam thi toán, lý là 2 A20 (cách) Số cách chọn 2 trong 10 nữ thi hóa, sinh là 2 A10 (cách) Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là ́ = 2 2 A A 34200 20 10 (cách). Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số lẻ? Hướng dẫn giải • Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số lẻ) lấy từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 là = 3 A 120 6 (số). • Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (cả 3 chữ số đều chẵn) lấy từ 2,4,6 là = 3 P 6 (số) Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 120 16 114 - = (số). Ví dụ 7: Có bao nhiêu số có hai chữ số, mà các chữ số đều là số lẻ và khác nhau? Hướng dẫn giải Xét tập A 1,3,5,7,9 ; =   có 5 phần tử. Số n ab; = a,b A,a b. Î 1 Vậy có = 2 A 20. 5 Ví dụ 8: Có thể có tối đa là bao nhiêu số điện thoại gồm 7 chữ số và các chữ số đều khác nhau? Hướng dẫn giải Xét tập A 0,1,2,...,9 . =   Số điện thoại x abcdefg. = Số a AÎ có 10 cách chọn. Vì b a 1 và b AÎ nên có 9 cách chọn. Vậy có: 10 9 8 7 6 5 4 604800 ́ ́ ́ ́ ́ ́ = cách. Cách giải khác: Các số a, b, c, d, e, f khác nhau từng đôi một nên ta có số cách chọn là = 7 A 604800. 10 Nhận xét: Các bài toán dùng quy tắc nhân, bạn cũng nên dùng công thức tính số chỉnh hợp chập k của n, k An cho nhanh.
Ví dụ 9: Có 10 môn học và một ngày học 5 tiết (5 tiết học với 5 môn khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các môn học trong ngày đó? Hướng dẫn giải Chọn 5 môn trong 10 môn cho ngày hôm đó, sau đó thay đổi thứ tự 5 môn học, ta có: = 5 A 30240. 10 Ví dụ 10: Cho tập A 1,2,3,...,9 . =   Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số 2; 4; 5 đồng thời có mặt? A. 1800. B. 3600. C. 10800. D. 4320. Hướng dẫn giải Xét ba vị trí trong 5 vị trí của số có 5 chữ số cần tìm để cho các chữ số 2, 4, 5. Ta có 3 A5 cách chọn. Còn lại hai vị trí cho các số khác trong A\ 2,4,5 .   Ta còn 6 chữ số. Vậy có 2 A6 cách chọn. Cuối cùng, ta được: = 3 2 A .A 1800. 5 6 Dạng 3. Tổ hợp Ví dụ 1: Cho tập M có 10 phần tử. Có bao nhiêu tập con có 2 phần tử từ tập M Hướng dẫn giải Số tập con gồm 2 phần tử của M là số cách chọn 2 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M. Do đó số tập con gồm hai phần tử của M là 2 C . 10 Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách phân công hai bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật? Hướng dẫn giải Kết quả của sự phân công một nhóm gồm 2 bạn là một tổ hợp chập 2 của 10. Vậy số cách phân công là: = = 2 10 10! C 45. 2!.8! Ví dụ 3: Tìm số đường chéo của một đa giác lồi 15 cạnh Hướng dẫn giải Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai đỉnh của đa giác đã cho là 2 C15 , trong đó số cạnh của đa giác là 15. Vậy số các đường chéo là: - = - = 2 C 15 105 15 90. 15 Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách phân công 8 bạn học sinh thành hai nhóm: một nhóm có 5 bạn, nhóm kia có 3 bạn? Hướng dẫn giải Số cách phân nhóm 5 bạn trong số 8 bạn học sinh là 5 C . 8 Sau khi phân nhóm 5 bạn sẽ còn lại 3 bạn được phân công vào nhóm còn lại. Vì vậy sẽ có = 5 C 56 8 cách. Ví dụ 5: Lớp 11 của một trường THPT có 45 học sinh. Cần chọn 4 bạn vào Đội Cờ đỏ và 3 bạn vào Ban Chấp hành Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Hướng dẫn giải Chon 4 bạn trong số 45 bạn vào Đội Cờ đỏ nên có 4 C45 cách chọn. Sau khi chọn 4 bạn rồi, chọn 3 bạn trong số 45 4 41 - = bạn còn lại vào Ban Chấp hành Đoàn nên có 3 C41 cách chọn. Từ đó, theo quy tắc nhân có ́ 4 3 C C 45 41 cách chọn.