Title Chương 7_Bài 1_ _Đề bài_Toán 11_CTST.pdf ✅

CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM BÀI 1. ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Đạo hàm HĐ 1: Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức 2 s t t ( ) 4,9 = với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5 ; t] hoặc [t ; 5] được tính bằng công thức ( ) (5) 5 s t s t − − a) Hoàn thiện bảng sau vể vân tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về ( ) (5) 5 s t s t − − khi t càng gần 5 . b) Giới hạn ( ) 5 ( ) lim 5 5 t s t s → t − − được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 0 t = 5 . Tính giá trị này. c) Tính giới hạn ( ) 0 0 0 ( ) lim t t s t s t → t t − − để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm 0 t nào đó trong quá trình rơi của vật. Lời giải a) Khoảng thời gian 53,9 49,49 49,24 5 49,04 9 49,004 9 48,995 1 48,95 1 5;6 5;5,1 5;5,05 5;5,01 5;5,001 4,999;5 4,99;5 ( ) (5) 5 s t s t − −
Mở rộng tình huống trong hoạt động trên, giả sử st() là tọa độ tại thời điểm t của một chất điểm chuyển động thẳng trên trục s Os  (Hình 2 ). Khi đó, giới hạn ( ) 0 0 0 ( ) lim t t s t s t → t t − − được gọi là vận tốc tức thời của chuyến động tại thời điểm 0 t , kí hiệu v t( 0 ) . Giới hạn này cũng được gọi là đạo hàm của hàm số st() theo thởi gian t tại thời điểm 0 t , kí hiệu s t ( 0 ). Vậy ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( ) lim . t t s t s t v t s t t t  → − = = − Tổng quát, ta có định nghĩa đạo hàm của hàm số bất kì như sau: Ví dụ 1. Cho hàm số 2 f x x ( ) = . Tỉnh f x( 0 )  với 0 x  . Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) lim lim lim 2 x x x x x x f x f x x x f x x x x x x x x  → → → − − = = = + = − − . Chú ý ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 2 2 5 5 5 5 4,9 4,9.5 b) lim lim 5 5 4,9 5 4,9 5 5 lim lim 5 5 lim4,9 5 4,9 5 5 49 t t t t t s t s t t t t t t t t t → → → → → − − = − − − − + = = − − = + = + = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4,9 4,9. c) lim lim 4,9 4,9 lim lim lim4,9 4,9 9,8 t t t t t t t t t t s t s t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t → → → → → − − = − − − − + = = − − = + = + = Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a b và 0 x a b ( ; ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) 0 0 0 ( ) lim x x f x f x → x x − − thì giới hạn này được goi là đạo hàm của hàm số f x( ) tại 0 x , kí hiệu là f x( 0 )  hoặc y x( 0 )  . Vậy: ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) lim x x f x f x f x x x  → − = −
Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a b . Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x a b ( , ) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng ( , ) a b , kí hiệu y  hoặc f x( )  . Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f x C C ( ) ( = là hằng số ) b) 1 f x( ) x = với x  0 . Lời giải a) Với bất kì 0 x , ta có: ( ) 0 0 4 0 0 0 ( ) ( ) lim lim lim 0 0. x x x x x x f x f x C C f x x x x x  → → → − − = = = = − − Vậy f x C ( ) ( ) 0   = = trên . a) Với bất kì 0 x  0 , ta có: ( ) 1 0 0 ( ) 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 lim lim lim . x x x x x x x x x x f x x x xx x x xx x  → → → − − − = = = = − − − Vậy 2 1 1 f x( ) x x     = = −     trên các khoảng ( ;0) − và (0; ) + . Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số 3 f x x ( ) = . Lời giải Với bất kì ta có: Chú ý: Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a b , có đạo hàm tại 0 x a b ( ; ). a) Đại lượng 0  = − x x x gọi là số gia của biến tại 0 x . Đại lượng  = − y f x f x ( ) ( 0 ) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, 0 x x x = +  và ( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 0 lim lim . x x y f x x f x f x x x   →  →  +  − = =   b) Tỉ số y x   biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ 0 x đến 0 x x + ; còn f x( 0 )  biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tai điểm 0 x Ý nghĩa vật lí của đạo hàm - Nếu hàm số s f t = ( ) biếu thị quãng đường di chuyến của vật theo thời gian t thì f t( 0 )  biếu thị tốc độ tức thời của chuyền động tại thời điểm 0 t . - Nếu hàm số T f t = ( ) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f t( 0 )  biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm 0 t . Vận dụng 1: Với tình huống trong Kính lúp 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 0 x ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 lim lim . i . l m lim . 3 x x x x x x x x f x f x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → →  − − = = − − − + + = − = + + = + + =
Lời giải Vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là: 2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số 1 2 ( ) 2 y f x x = = có đồ thị ( ) C và điểm 1 1; 2 M       thuôc ( ) C . a) Vẽ (C) và tính f (1)  . b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bẳng f (1)  . Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C) . Lời giải a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 lim 1 1 1 2 lim 1 1 1 1 2 lim 1 1 1 lim 1 1 1 1 2 2 x x x x x f x x x x x x x → → → →  −  = − − = − − + = − = + = + = b) Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 1 điểm M duy nhất v s (2 2 9,8.2 19,6 ) = ( ) = =