Title Chương 4_Bài 3_ _Toán 12_CD_Đề bài.pdf ✅

BÀI 3. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 1. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân Có nhiều bài toán thực tiễn dẫn tới khái niệm tích phân. Một trong những bài toán quan trọ̣ng nhất là tính diện tích của những "hình thang cong". Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y f x = ( ) liên tục, không âm trên đoạn a b ; . Hình phẳng gồm các điểm có toạ độ ( ; ) x y sao cho a x b £ £ và 0 ( ) £ £ y f x được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x = ( ) , trục Ox và hai đường thẳng x a = , x b = (Hình 6). Bằng cách chia đoạn a b ; thành n phần bằng nhau ta lập được tổng tích phân cấp n của hàm số y f x = ( ) trên đoạn a b ; là: 0 1 2 1 0 1 2 1         . n n n b a S T T T T f x f x f x f x n - - æ ö - = + + +1⁄4+ = × + + +1⁄4+ é ù ç ÷ ë û è ø Nhận xét: Người ta có thể chứng minh được rằng lim ( ) ( ) n n S F b F a ®+¥ = - với F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn a b ; . Hiệu F b F a ( ) ( ) - được gọi là diện tích hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x = ( ) , trục Ox và hai đường thẳng x a x b = = , . Cụ thể, ở Hình 6 , ta có: S F b F a hinh thang cong AMNB = - ( )   với F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn a b ;  Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm sốy = = + Î f x x x ( ) 1( [0;1]) . Xét hình thang vuông OMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x x ( ) 1 = + , trục Ox và hai đường thẳng x x = = 0, 1( Hình 7) a) Tính diện tích hình thang vuông OMNB. b) Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x x ( ) 1 = + trên đoạn 0;1. Tính F F (1) (0) - . Từ đó hãy chứng tỏ rằng hình thang vuông (1) (0) OMNB S F F = - . 2. Định nghĩa tích phân
Cho f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn a ;b . Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên đoạn a ;b Hiệu số F b F a ( ) ( ) - được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x( ) , kí hiệu là ( )d b a f x x ò . Chú ý - Kí hiệu ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a = - và đọc là F x( ) thế cận từ a đến b . Vậy ( )d ( ) ( ) ( ) b b a a f x x F x F b F a = = - ò . Gọi: b aò là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f x x ( )d là biểu thức dưới dấu tích phân và f x( ) là hàm số dưới dấu tích phân. - Ta quy ước: ( )d 0; ( )d ( )d a b a a a b f x x f x x f x x = = - ò ò ò . Ví dụ 2. Tính: a) 3 2 6 dx x ò b) 1 0 t e dt ò Chú ý: Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận $a, b$ mà không phụ thuộc vào biến số x hay t , nghĩa là ( )d ( )d b b a a f x x f t t = ò ò . II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn a ;b. Khi đó, ta có: ( )d ( )d b b a a k f x x k f x x = ò ò ( k là hằng số). Ví dụ 3. Cho 2 0 cos d 1 x x p = ò . Tính 2 0 2cos dx x p ò . Tính chất 2. Cho f x g x ( ), ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn a ;b. Khi đó, ta có     d b a é ù f x g x x + òë û  d   b b a a = + f x x g x dx ò ò ;     d b a é ù f x g x x - òë û   d d   b b a a = - f x x g x x ò ò ; Ví dụ 4. Tính   1 2 0 x x x + d ò . Tính chất 3. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn a ;b. Giả sử c là số thực tuỳ ý thuộc đoạn a ;b. Khi đó, ta có: ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = + ò ò ò
Ví dụ 5. Tính 1 1 x xd -ò . III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP 1. Tích phân của hàm số luỹ thừa Nhận xét: Với a 1 -1, ta có: 1 1 1 d 1 1 b b a a x b a x x a a a a a a + + + - = = + + ò . Ví dụ 6. Tính: a)   1 3 2 0 4 3 2 d x x x + - ò b) 4 1 1 d 2 x x ò ; c) 3 2 1 x x d ò . 2. Tích phân của hàm số 1 f x( ) x = Nhận xét: Với hàm số 1 f x( ) x = liên tục trên đoạn a ;b, ta có: 1 d ln ln ln . b b a a x x b a x = = - ò Ví dụ 7. Tính 1 2 d e x x - -ò . 3. Tích phân của hàm số lượng giác Nhận xét sin d cos cos ( cos ) cos cos b b a a x x x b a a b = - = - - - = - ò . cos d sin sin sin b b a a x x x b a = = - ò . - Với hàm số 2 1 ( ) sin f x x = liên tục trên đoạn a ;b, ta có:   2 1 d cot cot cot cot cot . sin b b a a x x b a a b x = - = - - - = - ò - Với hàm số 2 1 ( ) cos f x x = liên tục trên đoạn a ;b, ta có: 2 1 d tan tan tan . cos b b a a x x b a x = = - ò Ví dụ 8. Tính: a) 4 0 (sin cos )d x x x p + ò ; b) 4 2 2 6 1 1 d sin cos x x x p pæ ö ç ÷ - è ø ò . 4. Tích phân của hàm số mũ Nhận xét: Với a a > 1 0, 1, ta có: d ln ln x x a a a a x a a b b b a a a - = = ò . Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: dx x e x e e e b b b a a a = = - ò . Ví dụ 9. Tính:
a) 1 0 dx e x ò b) 1 0 2 dx x ò c)   1 0 3 2 d x x × - e x ò Ví dụ 10. Năng lượng gió trên đất liền là một trong những công nghệ năng lượng tái tạo đang được phát triển ở quy mô toàn cầu. Năng lượng gió không trực tiếp phát thải khí nhà kính, không thải ra môi trường các chất ô nhiễm khác, cũng như không tiêu thụ nước để làm mát cho các nhà máy. Các turbine gió thường có ba cánh quay trên một trục ngang, lấy động năng từ quá trình di chuyển dòng không khí (gió) để chuyển đổi thành điện năng thông qua một máy phát điện được kết nối với lưới điện. Hình thang cong (tô màu vàng) trong Hình 8 mô tả một phần mặt cắt đứng của cánh turbine, được giối hạn bởi các đường thẳng x x = = 2, 25, trục Ox và đồ thị hàm số   1 3 2 ( ) 33 120 400 . 800 y f x x x x = = - - + - (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematick, Grundkurs ma-l Cornelsen 2016). Hãy tính diện tích hình thang cong đó. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Tích phân 3 2 2 1 dx x ò có giá trị bằng: A. 1 6 . B. 1 6 - . C. 19 648 . D. 19 648 - . 2. Tích phân 5 sin dx x p pò có giá trị bằng: A. sin sin 5 7 p p - . B. sin sin 7 5 p p - . C. cos cos 5 7 p p - . D. cos cos 7 5 p p - . 3. Tích phân 1 0 3 d 2 x I x = ò có giá trị bằng: A. 1 ln 3 - . B. 1 ln 3 . C. -1 D. 1 .