Title CHỦ ĐỀ 1. BẤT ĐẲNG THỨC.doc ✅

CHUYÊN ĐỀ 6 BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ CHỦ ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Nếu ab thì ba . Nếu các số thực a, b, c thoả mãn ab và bc thì ta có ac . Nếu a, b là hai số thực thoả mãn ab thì với mọi số thực c ta có:  Nếu 0c thì acbc và ab cc .  Nếu 0c thì acbc .  Nếu 0c thì acbc và ab cc Nếu a, b là hai số thực thoả mãn ab thì với mọi số thực c ta có acbc Nhân hai vế bất đẳng thức cùng chiều: 0 0 ab acbd cd    . Nghịch đảo hai vế: 11 0ab ab . Nâng lên luỹ thừa: * 0,nnababnℕ . Khai căn bậc n: 0nnabab . Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối 2 2 0,,,xxxxxxx với mọi xℝ . Với mọi ,abℝ ta có:
 abab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0ab .  abab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0ab . Bất đẳng thức trong tam giác Nếu a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC thì:  0,0,0abc .  ;;bcabccabcaabcab . (bất đẳng thức tam giác)   abcABC (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho biểu thức (,,)Fxyz với các biến x, y, z thoả mãn điều kiện D cho trước. Ta nói M là giá trị lớn nhất của F khi nó thoả mãn cả hai điều kiện sau: + (,,)(1)FxyzM với mọi x, y, z thoả mãn điều kiện D. + Tồn tại 000(,,)xyz thoả mãn D và 000(;;)FxyzM Hay nói cách khác dấu đẳng thức ở (1) có xảy ra. Tương tự cho giá trị nhỏ nhất của F trên D. Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chúng ta cần chỉ ra đủ hai điều kiện được nêu trong định nghĩa ở trên. 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp giải Biến đổi bất đẳng thức cần được chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc đẳng thức đã được chứng minh là đúng.  Nếu ABCD với CD là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì bất đẳng thức AB đúng. Giả sử cần chứng minh AB . Ta thường biến đổi tương đương về các dạng sau: + 2220ABaXbYcZ , trong đó a, b, c không âm. + .0ABXY , X, Y cùng dấu.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau: 222 ()2ABAABB . 2222 ()222ABCABCABBCCA . 33223 ()33ABAABABB . Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho ba số ,,abcℝ . Chứng minh rằng: a) 222abcabbcca . b) 22223()()abcabc . c) 2()3()abcabbcca .  Giải chi tiết a) Ta có: 2222222()2()abcabbccaabcabbcca 222(a)()()0bbcca Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng. b) Ta có: 22222222223()()3()222abcabcabcabcabbcca 222 abcabbcca (đúng theo chứng minh câu a). Vậy ta có điều phải chứng minh. c) Ta có: 2222 ()3()2223()abcabbccaabcabbccaabbcca 222abcabbcca . (đúng theo chứng minh câu a). Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Cho ,,1abRab . Chứng minh rằng: 22 112 111abab  .  Giải chi tiết Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2222 222222 112(1)(1)(1)(1)2(1)(1) 111(1)(1)(1ab)(1)(1)(1ab) babaabab abababab    (do 2210,1a0,10abb với mọi a, b) 23232222 112(1)bababaabababab 33222222ababababab 32232222 2ababababaabb 222 ()()()abababbaab 2 ()(1)0.abab Bất đẳng thức cuối cùng đúng do 2()0ab với mọi a, b và 1ab theo giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có 43222210xxxx .  Giải chi tiết Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 432222222 2210(21)(21)0(1)(1)0xxxxxxxxxxxx . Bất đẳng thức cuối đúng do 22(1)0,110xx với mọi xℝ . Vậy ta có điều phải chứng minh. Dạng 2: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô – si và bất đẳng thức Bunhiacopski Phương pháp giải  Bất đẳng thức Cô – si:
Với hai số không âm ,0ab , ta có 2abab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Bất đẳng thức này còn được viết ở một số dạng khác tương đương là: 2 22 ; 22 abab abab    .  Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho ,,,abxyℝ . Ta luôn có: 22222()()()abxyaxby . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi aybx . Bài tập mẫu Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) 2ab ba với mọi ,0ab b) 2 2 2 2 1 a a    với mọi aℝ  Giải chi tiết a) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương a b và b a ta có: 2.2abab baba . b) Do 210a với mọi a nên vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh xác định với mọi aℝ . Ta có: 22 2 222 2111 1 111 aa a aaa    . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 2 1a và 2 1 1a ta có: 22 22 11 121.2 11 aa aa   Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 222222222()()()8abbccaabc với mọi ,,abcℝ  Giải chi tiết Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các số không âm 222,,abc ta có: 2222 220;ababab 2222 220;bcbcbc 2222 220.cacaca Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: 222222222222 ()()()88abbccaabcabc (đpcm). Sai lầm thường gặp “Áp dụng bất đẳng thức Cô – si: 222;abab 22 2;bcbc 22 2.caca Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.” Lời giải này sai ở chỗ nhân vế với vế của các bất đẳng thức mà chưa khẳng định chúng không âm. Đề bài cho chúng ta ,b,caℝ nên chúng có thể âm. Do vậy 22222.2ababab , tương tự với các bất đẳng thức còn lại. Ví dụ 3: Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng: 222 2221 222 xyz xyzyzxzxy  .