Title Chuyên đề 22. ĐƯỜNG THẲNG SIMSON.doc ✅

CHƯƠNG III. Chuyên đề 22. ĐƯỜNG THẲNG SIMSON A. Kiến thức cần nhớ Robert Simson là một nhà toán học người Scotland, giáo sư toán học của đại học Glasgow. Ông sinh ngày 14 tháng 10 năm 1687 tại West Kibride và mất ngày 1 tháng 10 năm 1768 tại Glasgow. Robert Simson vốn là một thầy thuốc nhưng lại ưa thích hình học. Ông say mê toán học thời cổ đại Hy Lạp chứ ít thích tự tìm những kết quả mới. Sau đây là một định lý mang tên ông. Định lý 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là các điểm bất kỳ trên (O) . Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, BC, CA. Chứng minh D, E, F thẳng hàng. Đường thẳng đi qua D, E, F có tên là đường thẳng Simson ứng với điểm M của ABC Giải Chứng minh. Xét trường hợp ABC nhọn và MBAMCA (Các trường hợp khác chứng minh tương tự) Khi đó D thuộc tia đối của tia BA, E và F tương ứng nằm trên cạnh BC, CA. Vì các tứ giác MDBE, ABMC và MCFE nội tiếp nên  MEDMBDACM180MEF  MEDMEF180DEF180 Do đó D, E, F thẳng hàng (dpcm) Định lý 2. Cho ABC và một điểm M. Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, CA, AB. Biết rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng. Chứng minh rằng M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC Giải Không mất tính tổng quát, ta xét trường hợp điểm M nằm trong góc BAC Các tứ giác BEMD, CMEF là tứ giác nội tiếp nên:  BMDBED;CMFCEF Ta lại có: BEDCEF (đối đỉnh)  BMDCMF Tứ giác ADMF nội tiếp nên ADMF180  ADMBBDF180ACMFBDF180 Do đó tứ giác ABMC nội tiếp. Suy ra M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC Bây giờ ta vận dụng định lí trên để giải một số ví dụ sau. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M là một điểm bất kỳ trên (O) , H là trực tâm ABC . Chứng minh rằng H và các điểm đối xứng của M qua AB, BC, CA thẳng hàng. Giải Tìm các giải. Nếu gọi E, I, F là hình chiếu của M trên đường thẳng AB, BC, CA và P, Q, R là các điểm đối. xứng của M qua AB, BC, CA thì E, I, F thẳng hàng (đường thẳng Simson). Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng. Do vậy chỉ cần chứng minh P, H, Q thẳng hàng. Trình bày lời giải Cách 1. Xét điểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi E, I, F lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng AB, BC, CA. Gọi P, Q, R lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, BC, CA. Ta có: APBAMBACBBHD  APBH là tứ giác nội tiếp BHPBAP  BHPBAM (1) Chứng minh tương tự ta có :  CHQCAM (2)
Từ (1) và (2) suy ra :  PHBBHCCHQBAMBHCCAM180 P, H, Q thẳng hàng. Tương tự : H, Q, R thẳng hàng  H, P, Q, R thẳng hàng. Cách 2. Gọi BH, CH cắt đường tròn (O) tại điểm G, J. Khi đó dễ dàng chứng minh được : G, J đối xứng với H qua AC và AB. Từ đó, ta có các tứ giác MPJH, MRGH là các hình thang cân. Suy ra PHJMJHMAC;RHGMGHMAB Do đó : PHJJHGRHGMACJHGMAB180 Vậy ba điểm P, H, R thẳng hàng (1) Mà E, I, F thẳng hàng (đường thẳng Simson) Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) suy ra P, H, Q, R thẳng hàng. Nhận xét.  Đường thẳng PR này có tên là đường thẳng Steiner.  Dựa vào bài toán trên, bạn có thể giải được bài toán sau: - Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M là một điểm bất kì trên (O) . Gọi P, Q, R là điểm đối xứng với M qua đường thẳng AB, BC, CA. Chứng minh rằng P, Q, R thẳng hàng và xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để PR đạt giá trị lớn nhất. - Cho ABC , M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng các điểm P, K, Q nằm trên một đường thẳng và đường thẳng đó luôn đi qua một điểm cố định không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp ABC (Olympc Toán Nhật Bản, năm 1996). Ví dụ 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) , M là điểm thuộc cung BC không chứa đỉnh A. Gọi D, E, F là hình chiếu của M lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: BCCAAB MDMEMH (Thi Vô Địch Mỹ, năm 1979) Giải Tìm cách giải. Hình vẽ có dạng đường thẳng Simson, do đó H, D, E thẳng hàng. Do yêu cầu của kết luận, nên ta cần tìm cặp tam giác đồng dạng để suy ra được: CAxABy ; MEMDMHMD . Từ các góc của các tứ giác nội tiếp, ta tìm được hướng chứng minh. Trình bày lời giải Theo bài toán Simson thì H, D, E thẳng hàng, các tứ giác MHBD, MDEC nội tiếp nên MEHMCB,MBCMHE AMHCMD∼ suy ra: AHCD MHMD AMEBMD∼ suy ra: AEBD MEMD Do đó: AHAECDBDBCABBHACCEBC MHMEMDMDMDMHMHMEMEMD Mặt khác BHMCEM∼ suy ra: BHCE MHME từ đó suy ra điều phải chứng minh. Nhận xét. Dựa vào bài toán trên, bạn có thể giải được bài toán sau:
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) , M là điểm thuộc cung BC không chứa đỉnh A. Gọi D, E, F là hình chiếu của M lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 111 MDMEMH  Cho tam giác ABC ( ABBCCA ) nội tiếp đường tròn (O;R) , M là điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O;R) . Gọi D, E, F là hình chiếu của M lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB. Tìm vị trí điểm M để BCCAAB MDMEMH đạt giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 3. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q và R tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ D xuống các đường thẳng BC, CA và AB. Chứng minh rằng PQQR khi và chỉ khi các đường phân giác của các góc ABC và ADC cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng AC. (Thi Toán Quốc tế IMO lần thứ 44, tại Nhật Bản, thi ngày 17/7/2003) Giải Tìm cách giải. Khi vẽ hình bài toán, chúng ta nhận thấy rằng có bóng dáng của bài toán đường thẳng Simson, do vậy chúng ta cần sử dụng P, Q, R thẳng hàng. Mặt khác, chúng ta thấy rằng PQQR thì 1 RQPR 2 . Vậy phải chăng các đường phân giác của các góc  ABC và  ADC cắt nhau tại một điểm E nằm trên đường thẳng AC sẽ tạo ra tính chất tỉ lệ đoạn thẳng? Từ đó ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Từ đề bài ta có P, Q, R thuộc một đường thẳng (đường thẳng Simson). Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DMDA Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có E thuộc AC khi và chỉ khi ABDAAEABDM BCDCECBCDC     Mặt khác ABCMDC (cùng bù với ADC ) nên ABCMDC∼  ACBMCD,CABCMD; Mà tứ giác AQDR nội tiếp nên DQRDAR và RDQCMD(CAB) RQDRDR DQRMAC(g.g) ACMA2AD∼ (4) Dễ thấy ADCRDP(g.g)∼ nên RPRD ACAD (5) Từ (4) và (5) suy ra 1 RQRPRQQP 2 Nhận xét. Ngoài ra chúng ta có thể giải trực tiếp như sau: Ta có: P, Q, R thẳng hàng. Từ các tứ giác nội tiếp CDQP, AQDR Suy ra: DCADPR(g.g)∼ Tương tự, ta có: DABDQP(g.g),DBCDRQ(g.g)∼∼ Do đó : DCBCPQ . DABAQR Suy ra DCBC PQQR DABA Điều đó tương đương với chân đường phân giác của các góc ABC và ADC cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng AC. Ví dụ 4. Từ điểm P trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp ABC kẻ PM, PL, PK lần lượt vuông góc với AB, AC, AC. Gọi P’ là điểm đối xứng với P qua O. Kẻ P’M’, P’L’, P’K’ lần lượt vuông góc với AB, AC, AC. Chứng minh rằng : MLM'L' Giải
Vận dụng tính chất đường thẳng Simson ta có : M, K, L thẳng hàng và M’, K’, L’ thẳng hàng. Tứ giác AM’P’L’ là tứ giác nội tiếp  AM'L'AP'L' (1) PP’ là đường kính  PACAP'L'(90CAP') (2) Mặt khác PACPBC (3) Tứ giác PMBK là tứ giác nội tiếp PMKPBC (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra : PMKAM'L' Mà PMKAML90M'MLMM'L90 Suy ra : MLM'L' C. Bài tập vận dụng 22.1. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) . H là trực tâm ABC , M là một điểm nằm trên cung nhỏ AC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, BC. a) Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của MH. b) Xác định vị trí của M để EF lớn nhất. 22.2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) và (O') tương ứng tại C và D. Gọi E và F thứ tự là hình chiếu vuông góc của B lên tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D. Chứng minh rằng EF tiếp xúc một đường tròn cố định. 22.3. Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp một đường tròn. Gọi M, N, P, Q, R, S, T và U lần lượt là hình chiếu vuông góc của E trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA, MN, NP, PQ và QM. Chứng minh R, S, T, U thẳng hàng. 22.4. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định nằm ngoài (O) . M là một điểm thay đổi trên đường thẳng qua A vuông góc với AO. Gọi MB, MC là các tiếp tuyến của (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ AEMB,AFMC(EMB;FMC) . Chứng minh rằng EF đi qua một điểm cố định. 22.5. Cho xOy , lấy điểm A cố định thuộc tia phân giác của xOy . Vẽ đường tròn (I) qua O và A cắt Ox, Oy lần lượt tại B và C và vẽ hình bình hành OBMC. Chứng minh rằng M thuộc một đường thẳng cố định. 22.6. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm là H. D là điểm trên cung nhỏ BC. Lấy điểm E sao cho ADCE là hình bình hành và K là trực tâm của tam giác ACE. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của K trên BC và AB. Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của HK. 22.7. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M là điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. Kẻ MEAB,MFAC(EAB,FAC) a) Xác định vị trí của M để trung điểm của EF nằm trên đoạn thẳng BC b) Kẻ APMB,AQMC(PMB,QMC) . Chứng minh rằng PQ đi qua một điểm cố định. 22.8. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Gọi H, K thứ tự là hình chiếu vuông góc của B trên AC, CD. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AD, HK. Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác vuông. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 22.1. a) Xét trường hợp BAMBCM (các trường hợp khác chứng minh tương tự)