Title Bài 4.5_Phép chiếu song song_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Khái niệm phép chiếu song song Phép chiếu song song thường dùng để biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng. Trong không gian, cho mặt phẳng P và đường thẳng l cắt P . Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l . Đường thẳng này cắt P tại ' M . Phép cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm ' M trong P được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng P theo phương l . Mặt phẳng P được gọi là mặt phẳng chiếu và đường thẳng l được gọi là phương chiếu của phép chiếu song song nói trên. Phép chiếu song song theo phương l còn được gọi tắt là phép chiếu theo phương l . Điểm ' M gọi là ảnh của điểm M qua phép chiếu theo phương l . Cho hình H trong không gian. Ta gọi tập hợp ' H các ảnh ' M của tất cả những điểm M thuộc H qua phép chiếu song song theo phương l là hình chiếu song song của H lên mặt phẳng P . 2. Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song Dưới đây ta chỉ xét ảnh của các đường thẳng, tia, đoạn thẳng không song song với phương chiếu. Tính chất 1 Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia. Tính chất 2 Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Tính chất 3  Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. 3. Hình biểu diễn của một hình không gian Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. Chú ý: Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ hình biểu diễn, chẳng hạn như:
a) Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H . b) Nếu hình phẳng nằm trong một mặt phẳng không song song với phương chiếu thì  Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.  Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.  Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hàng. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian 1. Phương pháp Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta cần chú ý một số điểm sau: - Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng cùng phương thì trên hình H’ hình chiếu của hai đoạn thẳng đó phải cùng phương. - Trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu. - Trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm trên cạnh đối diện mà nằm ở trên phần kéo dài của cạnh ấy. - Một góc bất kì có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù). - Một tam giác bất kì có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông). - Hình bình hành có thể dùng làm hình biểu diễn cho các hình có tính chất của hình bình hành (vuông, thoi, chữ nhật,...) - Một đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là: a. Một tam giác cân. b. Một tam giác vuông. Giải Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A. a. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’. b. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông tại A”. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác vuông A”BC. Ví dụ 2. Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)). Giải Vì phương chiếu d là SA nên SA cắt (P) tại A’. Các đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, D’ BB'∥ AA',CC'∥ AA',DD'∥ AA'. Vậy hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’. Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH. P A' A B C A" d P A D B C S A' B' C' D'
Giải Xem hình vẽ sau: Hình thật Hình biểu diễn Ví dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của đường tròn có hai đường kính vuông góc. Giải Giả sử trên hình thật ta có đường tròn tâm (O), tâm O, có hai đường kính AB và CD vuông góc. Nếu ta vẽ dây dung MN song song với AB thì CD sẽ cắt MN tại trung điểm I của MN. Suy ra cách vẽ hình biểu diễn như sau: - Vẽ elip (E), tâm O’ và đường kính A’B’ (qua O’) của nó. - Vẽ dây cung M'N'∥ A'B' . - Lấy I’ là trung điểm của M’N’. Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) tại C’, D’. Ta có A’B’ và C’D’ là hình biểu diễn hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn. Hình thật Hình biểu diễn Ví dụ 5. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều. Giải Xét hình lục giáo đều ABCDEF, ta thấy: - Tứ giác OABC là một hình thoi. - Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O. Suy ra cách vẽ như sau: + Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC. + Lấy các điểm D’, E’, F’ đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O’. + A’B’C’D’E’F’ là hình cần vẽ. Hình biểu diễn lục giác đều Ví dụ 6. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều. Giải Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ giác OBDC là hình thoi. Từ đó suy ra cách vẽ như sau: + Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu diễn cho hình thoi OBDC. + Lấy điểm A’ là điểm đối xứng của D’ qua O’. + Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cần tìm. H B C A C' B' H' A' D C M N A O B I N' M' A' C' O' B' D' I' C F D A E O B A' F' E' D' O' B'C'
Hình biểu diễn tam giác đều Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song 1. Phương pháp Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu song song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm phương chiếu đóng vai trò khá quan trọng. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD. b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên. Giải a. Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD: - Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD). - Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I. Trong tam giác IAB, ta có:          IG IG' IA IB IG' 1 IG 1 IB 3 IA 3 . Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD. b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy: - BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của BD. - BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của BC. Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN∥ BC' . Giải - Phân tích: Giả sử đã tìm được MDB' và NAC sao cho MN∥ BC' . Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau: D O A B C A' C' O' B' D' d M N M' G G' N' I B C A D M N B'' A B' B C C' D