Title Bài 13 Mở đầu về đường tròn.pdf ✅

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 1. CHƯƠNG V. ĐƯỜNG TRÒN Bài 13. MỞ ĐẦU VỀ ĐƯỜNG TRÒN PHẦN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Đường tròn Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R (R 0)  , kí hiệu là ( ; ) O R , là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R . Kí hiệu (O;R) hoặc O A là một điểm của đường tròn O thì ta viết A (O)  . Khi đó còn nói đường tròn O đi qua điểm A hay điểm A nằm trên đường tròn O . Trên hình vẽ ta thấy: - Điểm A nằm trên đường tròn O . - Điểm C nằm trong đường tròn O . - Điểm B nằm ngoài đường tròn O . Tổng quát: - Điểm M nằm trên đường tròn (O;R) nếu OM R . - Điểm M nàm trong dương tròn (O;R) nếu OM R . - Điểm M nằm ngoài đương tròn (O;R) nếu OM R . II. Tính đối xứng của đường tròn 1. Đối xứng tâm Hai điểm M và M gọi là đối xứng tâm với nhau qua điểm I (hay qua tâm I ) nếu I là trung điểm của đoạn thẳng MM . 2. Đối xứng trục Hai điểm M và M gọi là đối xứng trục với nhau qua đường thẳng d (hay qua trục d ) nếu d là đường trung trực của doạn MM'. III. Tâm và trục đối xứng của đường tròn - Đường tròn là hình có tâm đối xứng, tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó. - Đường tròn là hình có trục đối xứng, mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó. - Đường tròn có một tâm đối xứng, nhưng có vô số trục đối xứng. PHẦN B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 2. I. Xác định điểm nằm trên, nằm trong, nằm ngoài đường tròn Bài toán 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm M(0;2), N(0; 3)  và P(2; 1)  . Vē hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn (0; 5) ? Vì sao? Hướng dẫn: Dựng đường tròn tâm O, bán kính 5 trên mặt phẳng toạ độ (xem hình vẽ bên). Giả sử điểm 2 2 A(2;1) OA 2 1 5     . Lời giải (Xem hình vẽ). * Điểm M(0;2) OM 2   và M thuộc Oy . * Điểm N(0; 3) ON 3    và N thuộc Oy . * Điểm 2 2 P(2; 1) OP 2 1 5      . Ta có: OM 2 5   nên M nằm trong đường tròn tâm O , bán kính 5 . ON 3 5   nên N nằm ngoài (0; 5) OP 5  nên diêm P nằm trên (0; 5). Bài toán 2. Cho đường tròn (O;R) và năm điểm M, N, P, Q, K (hình vẽ). So sánh độ dài các đoạn thẳng OM, ON, OH, OK, OP với R . Lời giải Ta có ba điểm M, H, K nằm trên đường tròn (O;R) nên OM OH OK R    . Điểm N nằm bên trong (O;R) nên ON R Điểm P nằm bên ngoài (O;R) nên OP R . Bài toán 3. Cho đường tròn (O) , bán 5 cm và bốn điểm A, B, C, D thoả mãn OA 3 cm,  OB 4 cm,  OC 7 cm,  OD 5 cm  . Hãy cho biết mỗi điểm A, B, C, D nằm trên, nằm trong hay nằm ngoài đường tròn (O). Lời giải OA 3 cm(3 5)   nên điểm A nằm trong đường tròn (0;5). OB 4 cm(4 5)   nên điếm B nằm trong đường tròn (0;5). OC 7 cm(7 5)   nên điểm C nằm ngoài đường tròn (0;5). OD 5 cm  nên điểm D nằm trên đường tròn (0;5) hay D (0;5)  . II. Chứng minh nhiều điếm cùng thuộc đường tròn
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 3. Bài toán 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3 cm, AC 4 cm   . Chứng minh rằng các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Lời giải Xét tam giác ABC vuông tại A . Theo định lí Pythagore, ta có: 2 2 2 2 2 BC AB AC 3 4     2 2     BC 3 4 5( cm) Gọi O là trung điểm của BC , ta có: BC 5 OB OC 2,5( cm) 2 2     Mặt khác OA là trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A Ta có OA OB OC 2,5( cm)    Nên ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O là trung điểm đoạn BC và bán kính R  2,5( cm). Bài toán 5. Cho tam giác ABC đều có cạnh a , các đường cao BD và CE cát nhau tại H. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy. Huớng dẫn: Chúng ta đưa vể bài toán 1, ở đây có hai tam giác vuông cùng chung cạnh huyền BC . Lời giải Gọi O là trung điểm của BC . Các tam giác vuông BDC và BEC có chung cạnh huyển BC và OD, OE là các trung tuyến tương ứng Ta có 1 OD OE BC 2        1 OD OE OB OC a. 2      Vậy bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn tâm O là trung điểm của BC và bán kính bằng a 2 . Bài toán 6. Cho hình chữ nhật ABCD có AD 18 cm  và CD 12 cm  . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C,D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Lời giải
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 4. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Ta có: OA OB OC OD    (Tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm A, B, C,D cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính OA . Xét tam giác vuông ADC vuông tại D . Theo định lý Pythagore ta có: 2 2 2 2 2 AC AD CD 18 12     2 2     AC 18 12 6 13( cm) Vậy bán kính của đường tròn (O) đi qua bốn điểm A, B, C,D là 6 13 2 . Bài toán 7. Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của hình thoi cùng nằm trên một đường tròn. Lời giải Gọi E, G, H, I lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình thoi và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Ta có OE, OG, OH, OI lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác vuông AOB ,    BOC, COD, DOA 1 1 1 1 OE AB, OG BC, OH CD, OI AD 2 2 2 2      Mà AB BC CD AD    (cạnh hình thoi)     OE OG OH OI Chứng tỏ bốn điểm E,G,H,I cùng thuộc đường tròn (O). Bài toán 8. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB lấy điểm M , trên cạnh AD lấy N sao cho AM AN  . Kẻ AH vuông góc với DM (H DM)  và AH cắt BC tại P . Chứng minh rằng năm điểm C, D, N, H, P cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Ta có A D 1 1  (cùng phụ với M1 ) Do đó    ABP DAM (g.c.g)     BP AM PC ND . Lại có PC//ND và BCD 90 (gt)    PCDN là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo PD và CN ta có O là tâm đường tròn đi qua bốn điểm P, C, D, N. Mặt khác PHD vuông (gt) có HO là trung tuyến    HO OP OD hay H thuộc đường tròn tâm O.