Title Chương 3_Bài 2_Giới hạn hàm số_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Cho điểm 0 x thuộc khoảng K và hàm số y  f  x xác định trên K hoặc K \xo. Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới 0 x nếu dãy số  xn  bất kì,   0 \ n o n x  K x và x  x thì f  xn   L , kí hiệu     0 0 lim . x x f x L hay f x L khi x x     Nhận xét: 0 0 0 lim lim x x x x x x ; c= c    ( c là hằng số). 2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số a) Cho     0 0 lim lim . x x x x f x L và g x M     Khi đó:     0 limx x f x g x L M             0 limx x f x g x L M             0 lim . . x x f x g x L M         0   limx x f x L  g x M  ( với M  0 ). b) Nếu       0 0 0 lim lim . x x x x f x và f x L thì L 0 và f x L       ( Dấu của f  x được xét trên khoảng tìm giới hạn, 0 x  x ). Nhận xét: a) 0 lim k k o x x x x , k   là số nguyên dương; b)     0 0 lim lim ( x x x x cf x c f x c          , nếu tồn tại   0 limx x f x    ). 3. Giới hạn một phía  Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng  x0 ;b . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn bên phải là số L khi x dần tới 0 x nếu dãy số  xn  bất kì, 0 n x  x  b 0 0   , n n n x  x  b và x  x thì f x  L kí hiệu   0 lim x x f x L    .  Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a, xo . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn bên trái là số L khi x dần tới 0 x nếu dãy số  xn  bất kì, n 0 a  x  x 0   , n n và x  x thì f x  L kí hiệu   0 lim x x f x L    . Chú ý:
a) Ta thừa nhận các kết quả sau:      0 0 lim lim x x x x f x L và f x L       khi và chỉ khi   0 lim ; x x f x L    Nếu     0 0 lim lim x x x x f x f x      thì không tồn tại   0 limx x f x  . b) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay 0 x  x bằng 0 x x   hoặc 0 x x   . 4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực  Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a; . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn hữu hạn là số L khi x   nếu dãy số  xn  bất kì,   , n n n x >a và x   thì f x  L kí hiệu lim     x f x L hay f x L khi x + .       Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn hữu hạn là số L khi x  nếu dãy số  xn  bất kì,   , n n n x lim k x x    với k là số chẵn; lim k x x    với k là số lẻ. c) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây. Nếu   0 lim , x x f x             0 0 0 lim 0 lim lim . x x x x x x f x L và g x thì f x g x               được tính theo quy tắc cho bởi sau:   0 lim x x f x     0 lim x x g x       0 lim . x x f x g x         L  0     L  0   Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay 0 x  thành 0 x  ( hoặc  ,  ). B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a)   2 2 lim 7 4 x x x    ; b) 2 3 3 limx 9 x  x   ; c) 1 3 8 lim x 1 x  x   . Lời giải     2 2 2 2 2 2 2 a) lim 7 4 lim 7. lim lim4 ( 2) 7 2 4 22 x x x x x x x x                    2 3 3 3 3 3 1 1 1 b) lim lim lim x 9 x 3 3 x 3 3 3 6 x x  x  x x  x                        1 1 1 1 3 8 3 8 3 8 9 8 1 c) lim lim lim lim x 1 x 1 3 8 x 1 3 8 x 1 3 8 x x x x x  x  x x  x x  x x                       1 1 lim 3 8 1 3 1 8 x x        1 6  Bài 2. Cho hàm số   2 khi 1 khi 1 x x f x x x       Tìm các giới hạn       1 1 1 lim ; lim ;lim x x x f x f x f x      (nếu có). Lời giải       2 1 1 1 1 lim lim 1, lim lim 1 x x x x f x x f x x                   1 1 Do lim lim x x f x f x      nên không tồn tại   1 lim x f x  .
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a) 4 3 limx 2 x  x  ; b) 2 limx 3x 1 ; c) 2 1 limx 1 x  x   . Lời giải a) 3 4 4 3 4 0 lim lim 2 x 2 x 2 2 x x  x        . b) 2 2 0 lim lim 0 3 1 1 3 0 3 x x x x x         . c) 2 2 1 1 1 1 0 lim lim 1 1 1 1 0 1 x x x x x x            . Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a) 1 1 lim x x 1     ; b)   2 lim 1 x x   ; c) 3 lim x 3 x    x . Lời giải a) 1 1 lim x x 1        . b)   2 2 2 2 2 1 1 lim 1 lim 1 lim . lim 1 x x x x x x x   x   x                       0 1   . c) 3 3 3 1 lim lim .lim x 3 x x 3 x x x x             . Bài 5. Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30gam / lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là   30 400 t C t t   (gam/lít). b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu t   . Lời giải a) Sau thời gian t, số lít nước bơm vào hồ là: 15t (lít). Trong 15t lít nước biển có lượng muối: 30.15t  450t (gam). Nồng độ muối trong hồ sau thời gian t phút:   450 30 6000 15 400 t t C t t t     . b)   30 30 30 lim lim lim 30 400 400 0 1 1 x x x t C t t t           . Bài 6. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f  0 không đổi. Goi d vả d lần lượt lả khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: 1 1 1 d d f    hay df d d f   