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Université Ibn Zohr Faculté des Sciences-Agadir Département de Physique Année Universitaire 2020-2021 SMP-S5 Examen de Physique Statistique (Durée : 1h30 ) Session Normale Exercice (5 points) : Défauts de Schottky On considère un cristal isolé, d’énergie E comportant N + n sites dont N sites sont occupés chacun par un atome et n sites sont vides (lacunes) (N, n 1). On suppose que chaque site vide a une énergie > 0 et qu’un site occupé a une énergie nulle. Figure 1: Défauts de Schottky : les sites noirs sont occupés et blancs sont vides 0.5pt 1. Exprimer l’énergie du sytème E en fonction de . 1pt 2. Calculer le nombre d’états microscopiques Ω du système. 2pt 3. Calculer l’entropie microcanonique S pour le cas N, n 1. 4. En déduire l’inverse de la température microcanonique T −1 1.5pt du système en fonction de = ∂n ∂E . Solution : 1. L’énergie du système qui a n sites vides est E = n. La création des sites vides résulte du fait que les atomes migrent vers les bords (surfaces) du cristal laissent ainsi des lacunes à l’intérieur du cristal. 2. On calcule d’abord le nombre d’états microscopiques Ω du système. Ω est le nombre de façons de choisir aléatoirement n sites parmi N + n sites. On a Ω = C n N+n = (N + n)! n!N! 3. L’entropie microcanonique S pour le cas N, n 1 est donnée par : S = kB ln(Ω) = kB ln((N + n)! n!N! ) = kB[ln((N + n)!) − ln(n!) − ln(N!)] ' kB[(N + n) ln((N + n)) − N − n − n ln(n) + n − N ln(N) + N] = kB[(N + n) ln((N + n)) − n ln(n) − N ln(N)] où on a utilisé la formule de Stirling pour N, n 1. Page 1 / 4
Université Ibn Zohr Faculté des Sciences-Agadir Département de Physique Année Universitaire 2020-2021 SMP-S5 4. La température microcanonique T du système est donnée par : T −1 = ∂S ∂E = ∂S ∂n ∂n ∂E = kB[ln(N + n) − ln(n)]1 Problème (15 points) : Système de N oscillateurs harmoniques classiques et quan- tiques A- Approche classique : Un système est constitué de N >> 1 oscillateurs Harmoniques unidimensionnels (1D) in- dépendants. On note par m la masse et ω la pulsation d’un oscillateur. À l’équilibre statistique on cherche à calculer la capacité calorifique du système dans le cas classique. Notations : Dans la suite on adoptera les notations suivantes: x direction, p = mx ̇ l’impulsion, z fonction de partition d’un seul oscillateur harmonique, Z fonction de partition du sytème. 1pt 1. Rappeler l’espace de phases du système d’un seul oscillateur Harmonique ainsi que l’élément de volume accessible dΓ1 et son énergie E1. 3pt 2. Calculer la fonction de partition classique d’un oscillateur z, déduire la fonction de partition totale du système Z. 2pt 3. Déterminer les énergies interne E et libre du système F. 1pt 4. Déduire la capacité calorifique C du système. B- Approche quantique : Dans le cas quantique, on tentera de généraliser le calcul effectué dans le cas classique et on essayera de vérifier que l’énergie totale à hautes températures coïncide avec celle calculée classiquement dans la section A. 1. Écrire l’énergie quantifiée d’un seul oscillateur Ei 0.5pt . 3pts 2. Pour N >> 1 calculer la fonction de partition quantique d’un oscillateur z et la fonction de partition totale Z du système en fonction de la température d’Einstein θ = ~ω kBT . 2pts 3. Déduire l’énergie interne totale E et la capacité calorifique C. 2pt 4. Montrer qu’à haute température, on peut remplacer le résultat quantique par une bonne approximation classique. Rappel: On donne: Z +∞ 0 e −αx2 dx = 1 2 r π α Solution : A- Approche classique : 1. Espace de phase d’un seul oscillateur harmonique Eφ = {x, p}, p = mx ̇ dΓ1 = dxdp L’hamiltonien sera : Ei = p 2 2m + 1 2mω2x 2 Page 2 / 4
Université Ibn Zohr Faculté des Sciences-Agadir Département de Physique Année Universitaire 2020-2021 SMP-S5 2. Fonction de partition d’un seul oscillateur harmonique z = Z Z e −βEidΓi = Z Z e −β p 2 2m + 1 2mω2x 2 dxdp Les variables sont indépendantes z = Z +∞ −∞ e −β p 2 2m dp. Z +∞ −∞ e −β 1 2mω2x 2 dx = (2πmkBT) 1/2 2πkBT mω2 1/2 ⇒ z = 2π ω .(kBT) ; ω = r m K ; K est une cst > 0. ⇒ Z = 2π ω N .β−N 3. Energie libre F = −kBT ln Z = −N kBT ln 2π ω + N kBT ln β L’énergie interne E = − ∂ ∂β ln Z = N ∂ ∂β ln β ⇒ E = N kBT 4. La capacité calorifique classique C = ∂E ∂T = N kB = cst. B- Approche quantique: 1. Pour un seul oscillateur harmonique unidimensionnel: Ei = ~ω n + 1 2 , n ∈ N L’état quantique |ni est complètement déterminé par la donnée du nombre quantique n ∈ N. Pas de dégénérescence pour un seul oscillateur harmonique. → E = X N i=1 Ei = X N i=1 ~ω n + 1 2 ⇒ Z = z N et z = T re−βE; E = ~ω n + 1 2 2. La fonction de partition du système ⇒ z = X∞ n=0 e −β~ω(n+ 1 2 ) ; en posant θ = ~ω kBT = e − θ 2 . X∞ n=0 e −nθ; cette somme est celle d’une suite géométrique de raison q = e −θ = e − θ 2 . 1 1 − e−θ = 1 e θ/2 − e−θ/2 ⇒ z = 1 2 sinh θ 2 ⇒ Z = 1 2N sinhN θ 2 Page 3 / 4