Title 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ.docx ✅

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Bài 1. ( Đề vào lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 2023-2024) Cho các số thực dương ,ab thảo mãn 329ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2419Pab . Lời giải Cách 1 : Ta có 332929abab do đó 2243464319291958822Pabbbbbb Ta có 643643 588225875666Pbbbbbb 24323.628568466bbbbb Do 432 62856840,0bbbbb nên 24323.62856846666Pbbbbb Dấu bằng xảy ra khi 3b . Vậy min66P khi 2 3 a b     . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho n số dương tổng quát ta có 244aa và 34444443434..312bbbbb suy ra 43 38112bb hay 43 274bb Do đó 2433144116abab hay 241966Pab Dấu bằng xảy ra ở các BĐT trên là 2a và 3b . Vậy min66P khi 2 3 a b     . Bài 2. ( Đề vào lớp 10 Bắc Giang 2023-2024) Cho các số thực dương ,,abc thỏa mãn điều kiện 3abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 333Aabcbaccab . Lời giải Với điều kiện 3abc ta có 3()()()abcaabcbcabac Áp dụng BĐT Cô-si ta có : 2 3()() 22 abacabc abcabac  Tương tự ta có 2 3 2 abc bca  và 2 3 2 abc cab  Suy ra 4() 2()6 2 abc Aabc 
Dấu bằng xảy ra khi 3 1abc abc abbcca     . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 6 khi 1abc . Bài 3. ( Đề vào lớp 10 Bắc Ninh 2023-2024) Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện 2288640xyxyz . Chứng minh rằng 3 xyz xyz  . Lời giải Từ 2288640xyxyz22728880xyzxyz 22728xyzxyz hay 22 72 8 xyz xyz  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:  222xyxy  272227224xyzxyzxyz Do đó: 22 7227224xyzxyzxyz2272 3 8 xyz xyz  3xyzxyz hay 3 xyz xyz  Dấu "" xảy ra khi 0xyz hoặc 72 17 144 289 xy z         Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 4. ( Đề vào lớp 10 Bến Tre 2023-2024) Cho các số thực ,ab thỏa: 221412850abab . Tính giá trị của biểu thức 32Bab . Lời giải 22 1412850abab  22 22 144912360 760 aabb ab   Vì 270a với aℝ ; 260b với bℝ 707 606 aa bb    
Do đó 323.72.69Bab Vậy 9B Bài 5. ( Đề vào lớp 10 Bình Định 2023-2024) Cho các số thực dương ,,abc thõa 2024.abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 202420242024 abc P aabcbbcaccab  Lời giải Cách 1: Ta có: 2 (()()) 2024()()()(()())(()()) (()())(()()) ()() aabacaaaa aabcaabcabcaabacaabacabaca aabacaaabaca abacaabbcac       Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ab và ac , ta có : 2 ()() 22 abacabc abac  Do đó: 2 (()())2 2()2024 abc aa aabacaaabac abbcacabbcacabbcacaabc        Tương tự: 2()2024 bbcab abbcacbbca    2()2024 cacbc abbcacccab    Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2() P1 2() abbcca abbcca    Dấu "=" xảy ra khi 2024 20243 abc abc abc     Vậy GTLN của P là 1 khi 2024 3abc Cách 2: Ta có 2024a 2bc(abc)abcaabacbc(ab)(ac) Tương tự: 2024()()bcabcba 2024()()cabcacb
Do đó abc P a()()b()()c(ac)()abacabacbc  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2222()()()()()()abcaabcaacab Suy ra ()() aaa aabacaacababc  Tương tự ; ()()()() bbcc babacabccacbcabc  Do đó abc P1 abc    Dấu "=" xảy ra 20242024 3 abc abc abc     . Bài 6. ( Đề vào lớp 10 Đà Nẵng 2023-2024) Cho các số thực dương ,,abc thay đổi và thoả mãn điều kiện 962023abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 222222363243243378108108423Paabbbbccccaa . Lời giải Ta có: 2222213113363243999 444aabbababab 222131336324399 42aabbabab , dấu "" xảy ra khi 9ab Tương tự ta có: 221324337810896 2bbccbc , dấu "" xảy ra khi 96bc ; 22131084236 2ccaaca , dấu "" xảy ra khi 6ca 1399661396202313 2Pabbccaabc Vậy max202313P khi 202320232023 ,, 32718abc Bài 7. ( Đề vào lớp 10 Hà Nam 2023-2024) Cho ,,abc là các số không âm thỏa mãn 1011abc . Chứng minh: