Title E3.2 - Parcial Bloque 3.pdf ✅

An ́alise Matem ́atica. Curso 2022-2023. Grao en Enxener ́ıa Inform ́atica. ESEI Ourense. Departamento de Matem ́aticas. Universidade de Vigo. Data: 15/12/2022 Bloque III APELIDOS NOME DNI NOTA 1. Queremos aplicar o m ́etodo de Newton-Raphson para resolver a seguinte ecua- ci ́on: 4 + sen(x) 2 = x. a) Probar que se cumpren as condici ́ons de converxencia global no intervalo [2, 3]. b) Aproximar a soluci ́on realizando 3 iteraci ́ons do m ́etodo de Newton-Raphson empezando cun valor inicial x0 adecuado. Solucion: ́ Definimos f(x) = 4+sen(x)−2x que ́e continua e d ́uas veces continuamente derivable en R. i) f(2) = 0.909297, f(3) = −1.858880 logo f(2) · f(3) < 0. √ ii) f 0 (x) = cos(x) − 2 = 0 ⇐⇒ cos(x) = 2, pero esta ecuaci ́on non ten soluci ́on porque | cos(x)| ≤ 1 ∀x ∈ R =⇒ f 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ [2, 3]. √ iii) f 00(x) = − sen(x) < 0 en (0, π) =⇒ f 00(x) < 0 en [2, 3], ́e dicir, f(x) ́e c ́oncava en [2, 3]. √ Polo tanto c ́umplense as condici ́ons de converxencia global do m ́etodo de Newton- Raphson no intervalo [2, 3]. Partimos dun valor x0 ∈ [2, 3] tal que f(x0)f 00(x0) > 0, por exemplo x0 = 3. Ent ́on x0 = 3, x1 = x0 − f(x0) f 0(x0) = 2.378299, x2 = x1 − f(x1) f 0(x1) = 2.354317, x3 = x2 − f(x2) f 0(x2) = 2.354243 . 1