Title Chương 3_Bài 2_Phương sai và độ lệch chuẩn_Lời giải_Toán 12_CTST.pdf ✅

BÀI 2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Ở lớp 11 , ta đã biết giá trị đại diện của nhóm [a;b) là 1 ( ) 2 c  a  b . Tương tự như cách tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có thể được xác định thông qua giá trị đại diện và tần số của mỗi nhóm. Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu 2 S , được tính bởi công thức:       2 2 2 2 1 1 2 2 1 k k S n c x n c x n c x n             trong đó: 1 2 k n  n  n  n là cỡ mẫu:  1 1 2 2  1 là s trung bình. k k x n c n c n c o n    Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu S , là căn bậc hai số học của phương sai. Chú ý: a) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có thể được tính theo công thức sau:   2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 k k S n c n c n c x n     b) Trong thống kê, người ta còn dùng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:       2 2 2 1 1 2 2 2 1 . 1 k k S n c x n c x n c x n              Ví dụ 1: Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau: Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả các phép tính làm tròn đến hàng phần trăm.) Lời giải Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện: Cỡ mẫu n  6 12 19  9  4  50 .
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 6.5 12.7 19.9 9.11 4.13 8,72. 50 x       Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là   2 1 2 2 2 2 2 2 6 5 12 7 19.9 9 11 4.13 8,72 4,80 50 S           Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là S  4,80  2,19. Ví dụ 2: Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau trong các năm từ 2002 đến 2021 được thống kê như sau: a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên. b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là 80;98 và độ dài mỗi nhóm bằng 18. Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. c) Hãy tính sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. (Kết quả các phép tính làm tròn đến hàng phần nghìn.) Lời giải a) Cỡ mẫu là n  20 . Số trung bình của mẫu số liệu trên là 1 111,6 134,9 114 122,755. 20 x     Phương sai của mẫu số liệu trên là   2 2 2 2 2 1 1 111,6 134,9 114 122,755 515,453. 20 S      Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là 1 S  515,453  22,704. b) Ta có bảng sau: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 2 3.89 6.107 3.125 5.143 3.161 124,1. 20 x       Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
  2 2 2 2 2 2 2 2 1 3.89 6.107 3.125 5.143 3.161 124,1 566,19. 20 S        Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 2 S  566,19  23,795. c) Sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc là 2 1 1 23,795 22,704 100% 4,805%. 22,704 S S S     Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm • Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai của mẫu số liệu gốc. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cũng là giá trị xấp xỉ cho độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán. • Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. Ví dụ 3: Thầy Tuấn thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11 A và 11B ở bảng sau: a) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn? b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn? Lời giải a) Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11 A là: 10  5  5 . Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11B là: 10  6  4 . Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì điểm trung bình của các học sinh lớp 11B ít phân tán hơn điềm trung bình của các học sinh lớp 11A. b) Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện: Xét mẫu số liệu của lớp 11A: Cỡ mẫu là 1 n 111 22  6  40.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 1 1 5,5 11 7,5 22 8,5 6 9,5 8,3. 40 x          Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là   2 2 2 2 2 2 1 1 1 5,5 11 7,5 22 8,5 6 9,5 8,3 0,61. 40 S           Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 0,61 I S  . Xét mẫu số liệu của lớp 11B: Cỡ mẫu là 2 n  6  8 14 12  40 . Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 2 6 6,5 8 7,5 14 8,5 12 9,5 8,3. 40 x          Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là   2 2 2 2 2 2 2 1 6 6,5 8 7,5 14 8,5 12 9,5 8,3 1,06. 40 S           Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 2 S  1,06 . Do 1 2 S  S nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 11 A có điểm trung bình it phân tán hơn học sinh lớp 11B. Ví dụ 4: Biểu đồ dưới đây mô tả kết quả điều tra về mức lương khởi điểm (đơn vị: triệu đồng) của một số công nhân ở hai khu vực A và B . a) Hãy xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu đó. b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì công nhân ở khu vực nào có mức lương khởi điểm đồng đều hơn? Mức lương khởi điểm của công nhân ở hai khu vực A và B Lời giải a) Ta có bảng sau: