Title Bài 1.4_Hàm số lượng giác_CTST_Vở bài tập.pdf ✅

BÀI 4: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Hàm số lượng giác Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx , kí hiệu y  sinx . Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx , ki hiệu y  cosx . Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức   sin khi cos 2     x y x k k x    kí hiệu y  tanx . Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức   cos khi sin    x y x k k x   kí hiệu y  cotx . Như vậy: - Tập xác định của hàm số y  sinx và y  cosx là  . - Tập xác định của hàm số y  tanx là \ 2          D k k  \ ∣  . - Tập xác định của hàm số y  cotx là D  \\k∣ k  . 2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn Hàm số chẵn, hàm số lẻ Ta có định nghĩa sau: Hàm số y  f  x với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x D ta có x D và f x  f  x. Hàm số y  f  x với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x D ta có x D và f x   f  x. Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Hàm số tuần hoàn Hàm số y  f  x với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x D ta có x T  D và f  x T   f  x. Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y  f  x . Chú ý: Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T . Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: a) Các hàm số y  sinx và y  cosx là các hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ; b) Các hàm số y  tanx và y  cotx là các hàm số tuần hoàn với chu kì  . 3. Đồ thị của các hàm số lượng giác Hàm số y  sinx Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn nhiều điểm M  x;sinx với x;  và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y  sinx trên đoạn ;  như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 3.
Vì hàm số y  sinx tuần hoàn với chu kì 2 nên để vẽ đồ thị của hàm số y  sinx trên  , ta vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn ; , sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn giá trị của x có độ dài 2 . Ta có đồ thị của hàm số y  sinx trên  như sau: Chú ý: Vì y  sinx là hàm số lé nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn ; , ta có thề vẽ trêr đoạn 0; , sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ. Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số y  sinx có tập xác định là  , tập giá trị là 1;1 và có các tính chất sau: - Hàm số tuần hoàn với chu ki 2 . - Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O . - Hàm số đồng biến trên các khoảng 2 ; 2   2 2          k k k      và nghịch biến trên các khoảng   3 2 ; 2 2 2          k k k      . Hàm số y  cosx Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , lấy nhiều điểm M  x;cosx với x;  và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y  cosx trên đoạn ;  như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 4 . Vì hàm số y  cosx tuần hoàn với chu kì 2 nên để vẽ đồ thị của hàm số y  cosx trên  , ta vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn ; , sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn giá trị của x có độ dài 2 . Ta có đồ thị của hàm số y  cosx trên  như sau: Chú ý: Vì y  cosx là hàm số chẵn nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn ; , ta có thể vẽ trên đoạn 0; , sau đó lấy đối xứng qua trục tung. Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số y  cosx có tập xác định là  , tập giá trị là 1;1 và có các tính chất sau:
- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . - Hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục Oy . - Hàm số đồng biến trên các khoảng   k2; k2 k  và nghịch biến trên các khoảng k2;  k2 k  . Hàm số y=tanx Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , lấy nhiều điểm M  x;tanx với ; 2 2       x   và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y  tanx trên khoảng ; 2 2         như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 7. Vì hàm số y  tanx tuần hoàn với chu kì  , nên để vẽ đồ thị của hàm số y  tanx trên \ 2         k k  \ ∣  , ta vẽ đồ thị của hàm số trên khoảng ; 2 2         , sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn giá trị của x có độ dài  . Ta có đồ thị của hàm số y  tanx trên 2         k k    ∣  như sau: Chú ý: Vì y  tanx là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên khoảng ; 2 2         , ta có thể vẽ trên nửa khoảng 0; 2        , sau đó lấy đối xứng qua gốc toạ độ. Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số y  tanx cỏ tập xác định là \ 2         k k   ∣  , tập giá trị là  và có các tính chất sau: - Hàm số tuần hoàn với chu kì  . - Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O . - Hàm số đồng biến trên các khoàng ;   2 2          k k k      . Hàm số y=cotx
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , lấy nhiều điểm M  x;cotx với x0;  và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y  cotx trên khoảng 0;  như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 8 . Vì hàm số y  cotx tuần hoàn với chu kì  nên đế vẽ đồ thị của hàm số y  cotx trên  k∣ k  ta vẽ đồ thị của hàm số trên khoảng 0;  , sau đó tịnh tiến đồ thị trên khoảng này theo phương song song với trục hoành từng đoạn có độ dài  . Ta có đồ thị của hàm số y  cotx trên \\k∣ k  như sau: Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số y  cotx có tập xác định là \\k∣ k  , tập giá trị là  và có các tính chất sau: - Hàm số tuần hoàn với chu kì  . - Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O . - Hàm số nghịch biến trên các khoảng k;  k k  . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP LỜI GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số 1. Phương pháp Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau  y  ux có nghĩa khi và chỉ khi ux xác định và u(x)  0.  u(x) y v(x)  có nghĩa khi và chỉ ux , vx xác định và v(x)  0.  u(x) y v(x)  có nghĩa khi và chỉ ux , vx xác định và v(x)  0.  Hàm số y  sinx, y  cosx xác định trên  và tập giá trị của nó là: 1 sinx 1 ; 1 cosx 1. Như vậy, y sin ux , y cos ux           xác định khi và chỉ khi ux xác định.  y  tan ux có nghĩa khi và chỉ khi ux xác định và ux k ,k 2       y  cot ux có nghĩa khi và chỉ khi ux xác định và ux  k,k . 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) 2 5x y sin x 1         ; b) 2 y  cos 4  x ; c) y  sin x; d) y  2  sin x .