Title CHUYÊN ĐỀ 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH.pdf ✅

Chuyên đề 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I Hệ phương trình loại I theo ẩn x và y: Là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của các ẩn x và y thì hệ phương trình vẫn không thay đổi. Dạng hệ phương trình với .     , 0 , 0 f x y g x y                , y, , y, f x y f x g x y g x        Đặt . S x y P xy       Hệ phương trình ở dạng thu gọn , điều kiện .     , 0 , 0 f S P g S P        2 S  4P (với S là tổng hai nghiệm và P là tích hai nghiệm).  Phương pháp giải: Bước 1: Đặt và x, y chính là nghiệm của phương trình. S x y P xy       Điều kiện . 2 S  4P Bước 2: Xác định S và P. Khi đó S và P là nghiệm của phương trình bậc hai: . 2 X SX  P  0 Bước 3: Giải phương trình: bậc hai theo ẩn X. Bước 4: Suy ra giá trị x, y. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: . 2 2 3 2 2 3 5 6 x y x y x x y xy y            Giải: Ta có hệ phương trình tương đương .        2 2 2 2 5 6 x y x y x y x y             Đặt . 2 2 a x y b x y        Hệ phương trình trở thành: . 5 6 a b ab       Suy ra a và b là hai nghiệm của phương trình: . 2 2 5X 6 0 3 X X X         
Với . 2 2 11 2 2 2 6 3 3 3 7 3 6 x a x y x y b x y x y y                                     Với . 2 2 7 3 3 3 4 2 2 2 1 2 4 x a x y x y b x y x y y                                          Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : . 2 2 4 2 x xy y x xy y          Giải: Đặt .   2 4 S x y S P P xy        Hệ phương trình trở thành: . 2 4 2 S P S P        hoặc .   2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 0 0 3 P S P S P S S S S S S S P S                                           3 5 S P       Với hoặc . 2 2 2 0 0 0 S x y x P xy y                    0 2 x y      Với   2 3 3 3 3 5 5 3 5 3 5 0 S x y x y x y P xy y y y y                                      (hệ phương trình vô nghiệm). 2 3 3 11 0 2 4 x y y                Vậy hệ phương trình có nghiệm: .  x; y  2;0,0;2 Bài tập tương tự: 1) Giải hệ phương trình . 2 2 19 84 xy x y x y xy         Đáp số: .  x; y  6 42;6 42,6 42;6 42,3;4,4;3 2) Giải hệ phương trình .         2 2 6 5 x y xy xy x y
Đáp số: .  x; y  1;2,2;1 3) Giải hệ phương trình . 2 2 2 3 y x xy        Đáp số:  x; y  1; 3,1; 3. 4) Giải hệ phương trình . 4 4 5 97 x y x y        Đáp số: .  x; y  2;3,3;2 5) Giải hệ phương trình . 2 2 1 3 x xy y x y xy          Đáp số: .  x; y  1;1 B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x và y là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của x cho y thì hai phương trình của hệ sẽ hoán đổi cho nhau. Dạng phương trình .     , 0 ; 0 f x y f y x         Phương pháp giải: Bước 1: Cộng hoặc trừ hai vế của hai phương trình để đưa hệ phương trình về phương trình tích và lập hệ phương trình: Đưa về dạng hoặc       , , 0 , 0 f x y f y x f x y               , , 0 , 0 f x y f y x f x y             .   . , 0 , 0 x y x y f x y f x y          Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được. Bước 3: Xét nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của từng phương trình trong hệ ở bước 1. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:     2 2 1 3 1 1 3 2 x y y x          Giải: Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2), ta được:     2 2 x 1  y 1  3y3x        2 2  x  y  3 y x  x  y x  y  3 x  y  0   3 0 . 3 0 3 x y x y x y x y x y x y                      
Với x  y thế vào (1), ta được: 2 y 1 3y . 2 3 5 3 5 2 2 3 1 0 3 5 3 5 2 2 y x y y y x                     Với x  3 y thế vào (2), ta được   2 y 1 3 3 y (vô nghiệm). 2 2 3 31 3 10 0 0 2 4 y y y               Vậy hệ phương trình có nghiệm:   . 3 5 3 5 3 5 3 5 , , , , 2 2 2 2 x y                  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 x y x y y x y x            Giải: Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2), ta được:         2 2 2 2 x  2y  y  2x  2x  y  2y x      .   2 2 3 3 3 1 x y x y x y x y x y x y x y                 Với x  y thế vào (1) ta được: . 2 0 0 3x 3 3 x y x x y               Với   thế vào (2), ta được 1 3 3 1 3 y x y x      2 2 1 3 1 3 2 2 3 3 y y y y            (vô nghiệm). 2 2 1 5 1 19 0 0 3 9 6 36 y y y               Vậy hệ phương trình có nghiệm: .  x; y  0;0,3;3 Bài tập tương tự: 1) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 x x y y y x        Đáp số:  x; y  0;0, 3; 3, 3; 3 2) Giải hệ phương trình . 2 2 2 2 2 2 x y y xy x       