Title GT1_CK_212_DT_Cô Xuân Anh.pdf ✅

¤i håc B¡ch khoa-HQG TPHCM Khoa Khoa håc Ùng döng CUÈI HÅC KÝ Ký/n«m håc II 2022 Ng y thi 02/07/2022 Mæn håc GII TCH 1 M¢ mæn håc 1003 Thíi gian 100 phót M¢ · 2701 Ghi chó: Sinh vi¶n khæng ÷ñc dòng t i li»u. Nëp l¤i · thi cho gi¡m thà. · thi gçm 4 trang. I. Ph¦n c¥u häi tr­c nghi»m (18 c¥u/50 phót) C¥u 01. Cho mi·n D giîi h¤n bði 2 ÷íng cong x = y 2 , x = 4, t1⁄4m a sao cho ÷íng th ̄ng x = a chia mi·n D th nh 2 ph¦n câ di»n t1⁄2ch b¬ng nhau. A C¡c c¥u kh¡c sai. B a = √ 16. C a = √ 8. D a = √3 16. E a = √3 8. C¥u 02. Nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr1⁄4nh vi ph¥n vîi i·u ki»n ¦u y 2 (1 + e 2x )dy = e xdx, y(0) = 0 l : A y 3 3 − π 4 = 2 arctan (e x ). B C¡c c¥u kh¡c sai. C y 3 3 + π 4 = 2 arctan (e x ). D y 3 3 − π 4 = arctan (e x ). E y 3 3 + π 4 = arctan (e x ). C¥u 03. N÷îc ch£y tø ¡y cõa mët bo chùa vîi tèc ë r(t) = 100 − 2t l1⁄2t/phót, trong â 0 ≤ t ≤ 50. T1⁄2nh l÷ñng n÷îc ch£y tø bo trong 10 phót ¦u ti¶n. A C¡c c¥u kh¡c sai. B 700 l1⁄2t. C 800 l1⁄2t. D 400 l1⁄2t. E 1200 l1⁄2t. C¥u 04. Cho h» ph÷ìng tr1⁄4nh ( x 0 (t) = 5x + 3y y 0 (t) = 4x + y . Gi£i h» b¬ng c¡ch khû h m y(t), ta ÷ñc nghi»m l : A ( x(t) = C1e 7t + C2e −t y(t) = 2C1e 7t − 6C2e −t . B    x(t) = C1e 7t + C2e −t y(t) = 2 3 C1e 7t − 2C2e −t . C ( x(t) = C1e 7t + C2e −t y(t) = C1e 7t − C2e −t . D C¡c c¥u kh¡c sai. E    x(t) = C1e 7t + C2e −t y(t) = 3 2 C1e 7t − 1 2 C2e −t . C¥u 05. N÷îc th£i tø 1 x÷ðng hâa ch§t vîi nçng ë hâa ch§t l 1% ch£y vîi tèc ë 15 l1⁄2t / phót v o bo chùa 2000 l1⁄2t n÷îc tinh khi ̧t. o l m gi£m l÷ñng hâa ch§t, ng÷íi ta cho n÷îc tinh khi ̧t ch£y v o bo vîi tèc ë 20 l1⁄2t / phót; çng thíi trong bo l­p m¡y quay li¶n töc. Gåi l÷ñng hâa ch§t trong bo sau t phót cõa qu¡ tr1⁄4nh tr¶n l y(t) l1⁄2t, ph÷ìng tr1⁄4nh vi ph¥n n o d÷îi ¥y mæ t£ qu¡ tr1⁄4nh. A y 0 = 0.15 − 4y 400 + t , y(0) = 0. B y 0 = 0.01 − 4y 400 − t , y(0) = 20. C y 0 = 0.15 − 4y 400 − t , y(0) = 0. D y 0 = 0.15 − 4y 400 + t , y(0) = 20. E C¡c c¥u kh¡c sai. C¥u 06. Cho h m f(x) = x + sin x, t1⁄2nh t1⁄2ch ph¥n Z π 0 f −1 (x)dx. A π 2 2 + 2. B π 2 2 . C π 2 2 − 2. D C¡c c¥u kh¡c sai. E π 2 . C¥u 07. H m y = x 2 − x KHÆNG l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr1⁄4nh n o d÷îi ¥y? A y 0 + 2y = 2x 2 − 1, y(0) = 0. B y 0 − x = 2 y x , y(0) = 0. C y 0x − y = x 2 , y(1) = 0. D y 0 = 2x − 1, y(1) = 0. E y 0 − 1 = 2 y x , y(1) = 0. C¥u 08. T1⁄2nh t1⁄2ch ph¥n I = Z ∞ 0 1 e x + a dx. A I = 1 a ln(1 + a) . B C¡c c¥u kh¡c sai. C I = ln(1 + a). D I = a ln(1 + a). E I = ln(1 + a) a . Hå v t¶n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MSSV: . . . . . . . . . . . . Trang 1/4 - M¢ · thi 2701
C¥u 09. Khi sû döng ph÷ìng ph¡p bi ̧n thi¶n h¬ng sè o t1⁄4m nghi»m ri¶ng (k1⁄2 hi»u l yr ) cõa ph÷ìng tr1⁄4nh y 00+4y 0 = 2x+1, ta ÷ñc: A C¡c c¥u kh¡c sai. B yr = x 8 (2x + 1). C yr = x 2 (2x + 1). D yr = x 4 (2x + 1). E yr = x(2x + 1). C¥u 10. Cho mi·n D giîi h¤n bði x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 5 + 4x − x 2 . T1⁄2nh tho t1⁄2ch khèi trán xoay t¤o ra khi quay mi·n D quanh tröc Oy . Bä qua ìn và t1⁄2nh. A 250π. B C¡c c¥u kh¡c sai. C 875 6 π. D 125π. E 875 12 π. C¥u 11. Cho mi·n D l ph¦n n¬m giúa 2 ÷íng cong y = x 3 − 2x 2 , y = x − 2 ùng vîi 0 ≤ x ≤ 2 trong h1⁄4nh b¶n. Di»n t1⁄2ch mi·n D (bä qua ìn và t1⁄2nh) b¬ng gi¡ trà cõa t1⁄2ch ph¥n n o sau ¥y? A Z 2 1 x 3 − 2x 2 − x + 2 dx + Z 2 0 x − 2 − x 3 + 2x 2 dx. B Z 1 0 −x 3 + 2x 2 dx + Z 2 1 (−x + 2) dx. C C¡c c¥u kh¡c sai. D Z 1 0 x 3 − 2x 2 dx + Z 2 1 (x − 2) dx. E Z 1 0 x 3 − 2x 2 − x + 2 dx + Z 2 1 x − 2 − x 3 + 2x 2 dx. C¥u 12. Lóc 5 gií chi·u, ng÷íi thñ l§y 1 m ́ b¡nh tø lá n÷îng nhi»t ë 1500C ra ngo i khæng kh1⁄2 nhi»t ë g¦n nh÷ khæng êi l 300C. ̧n 5h30 ng÷íi thñ kiom tra l¤i th1⁄4 th§y nhi»t ë cõa b¡nh cán kho£ng 700C. Gåi nhi»t ë cõa m ́ b¡nh sau t phót em ra ngo i l T(t) ë C, t1⁄4m T(t). A T(t) = 70 − 150e −0.0366t . B T(t) = 30 + 150e −0.0366t . C T(t) = 30 + 120e −0.0366t . D C¡c c¥u kh¡c sai. E T(t) = 70 − 120e −0.0366t . C¥u 13. Mët cæng ty khai th¡c mä ÷îc t1⁄2nh chi ph1⁄2 can bi¶n khi chi ̧t xu§t x t§n çng tø mä l 0.6 + 0.008x, ìn và t1⁄2nh l ngh1⁄4n æ la / t§n. Bi ̧t chi ph1⁄2 th nh lap cæng ty l 100 000 æ la. T1⁄2nh chi ph1⁄2 chi ̧t xu§t 50 t§n çng ¦u ti¶n. A 230 000 æ la. B 140 000 æ la. C 410 000 æ la. D 131 000 æ la. E C¡c c¥u kh¡c sai. C¥u 14. Cho 2 h m f(x) = Rx 2 √ 1 + t 3 dt v g(x) = f(x) 1 + x 4 . T1⁄2nh g(2), g0 (2). A g(2) = 0, g0 (2) = 3 17 . B g(2) = 3, g0 (2) = 3 17 . C g(2) = 0, g0 (2) = − 3 17 . D C¡c c¥u kh¡c sai. E g(2) = 3, g0 (2) = − 3 17 . C¥u 15. ÷a ph÷ìng tr1⁄4nh Bernoulli 2xy0 − y = x 4 y v· th nh ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh c§p 1 b¬ng c¡ch °t z(x) = y 1−α. T1⁄4m α v ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh vîi h m z(x). A α = 1 v ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh l z 0 − 1 x z = x 3 . B α = −1 v ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh l z 0 − 1 2x z = x 3 2 . C C¡c c¥u kh¡c sai. D α = −1 v ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh l z 0 − 1 x z = x 3 . E α = −1 v ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh l z 0 − 1 x z = x 3 2 . Hå v t¶n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MSSV: . . . . . . . . . . . . Trang 2/4 - M¢ · thi 2701

C¥u 02. Ð mët cæng ty x«ng d¦u, ng÷íi ta c¦n t1⁄2nh to¡n l÷ñng x«ng tçn kho cuèi n«m trong c¡c bçn chùa cõa cæng ty. Mët trong c¡c lo¤i bçn chùa th÷íng dòng câ h1⁄4nh d¤ng gièng nh÷ mët h1⁄4nh trö trán b¡n k1⁄2nh r v chi·u d i L, ÷ñc °t n¬m ngang, nh÷ h1⁄4nh b¶n. Dú li»u tr£ v· cho k ̧ to¡n l ë s¥u cõa x«ng cán trong bçn ÷ñc o b¬ng mët que o dåc ¡nh d§u b¬ng cm. L÷u þ: V3 h1⁄4nh minh håa cho c¥u (a) v o ph¦n o trèng b¶n ph£i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) B¬ng c¡ch °t h» tröc tåa ë th1⁄2ch hñp, vi ̧t t1⁄2ch ph¥n o t1⁄2nh di»n t1⁄2ch m°t c­t dåc ph¦n x«ng cán l¤i trong bçn: S = Z d−r −r 2 p r 2 − x 2dx (b) Cæng thùc t1⁄2nh tho t1⁄2ch x«ng cán l¤i: S.L (c) T1⁄2nh tho t1⁄2ch x«ng cán l¤i trong bçn câ k1⁄2ch th÷îc cö tho l r = a dm, L = 3 × a dm, d = 0.5 × a dm: a = 7 : V = 632; a = 8 : V = 943.4; a = 9 : S = 1343.2; a = 10 : S = 1842.6. C¥u 03. Ph÷ìng tr1⁄4nh vi ph¥n c§p 1 câ d¤ng: y = f(y 0 ) x + g(y 0 ), f(y 0 ) 6= y 0 ÷ñc gåi l ph÷ìng tr1⁄4nh Lagrange. o gi£i ph÷ìng tr1⁄4nh, ng÷íi ta °t t(x) = y 0 (x), sau â l§y ¤o h m 2 v ̧ ph÷ìng tr1⁄4nh v bi ̧n êi v· th nh d¤ng ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh c§p 1 vîi x l h m theo bi ̧n t : x = x(t) (t − f(t))dx dt − f 0 (t) x = g 0 (t) . p döng c¡ch gi£i n¶u tr¶n o t1⁄4m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr1⁄4nh Lagrange : y = 2xy0 + 1 y 02 . (a) So s¡nh vîi d¤ng têng qu¡t, t1⁄2nh l¦n l÷ñt: f(y 0 ) = 2y 0 . . . . . . → f(t) = 2t . . . . . . , g(y 0 ) = 1 y 02 . . . . . . → g(t) = 1 t 2 . . . . . . t − f(t) = −t . . . . . . , f 0 (t) = 2 . . . . . . , g 0 (t) = − 2 t 3 (b) Suy ra ph÷ìng tr1⁄4nh tuy ̧n t1⁄2nh d¤ng ch1⁄2nh t­c x 0 + p(t) x = q(t) vîi p(t) = 2 t . . . . . . , q(t) = 2 t 4 (c) Gi£i ph÷ìng tr1⁄4nh ð c¥u (b), ta ÷ñc x(t) = C t 2 − 2 t 3 (d) Thay x = x(t) ð c¥u (c) v y 0 = t v o ph÷ìng tr1⁄4nh ban ¦u o t1⁄2nh y(t) = 2C t − 3 t 2 Vay nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr1⁄4nh vi ̧t d÷îi d¤ng h m cho bði ph÷ìng tr1⁄4nh tham sè: x = x(t), y = y(t) MËT SÈ TCH PH N BNG TH×ÍNG GP: Z 1 a 2 − x 2 dx = 1 2a ln x + a x − a + C, Z 1 a 2 + x 2 dx = 1 a arctan x a + C Z 1 √ a 2 − x 2 dx = arcsin x a + C, Z 1 √ a + x 2 dx = ln x + p x 2 + a + C Hå v t¶n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MSSV: . . . . . . . . . . . . Trang 4/4 - M¢ · thi 2701