Title Bài 3_Đường tiệm cận của đồ thị hàm số_Lời giải.Image.Marked.pdf ✅

BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐƯỜNG TIỆM NGANG Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Đường thẳng 0 y  y được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu: 0 lim ( ) x f x y   hoặc 0 lim ( ) x f x y   . Nhận xét: Giả sừ đường thẳng 0 y  y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f (x) . Lấy điểm M (x; y) thuộc đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 0 y  y . Khi đó, độ dài MH tiến tới 0 khi x   (Hình 11a) hay x   (Hình 11b). Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 ( ) 2 x y f x x     . Lời giải Hàm số đã cho có tập xác định là  \{2} . Ta có: 2 1 lim ( ) lim 2 x x 2 x f x   x     , 2 1 lim ( ) lim 2. x x 2 x f x   x     Vậy đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Đường thẳng 0 x  x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 0 0 0 0 lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) . x x x x x x x x f x f x f x f x                 Nhận xét: Giả sử đường thẳng 0 x  x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f (x) . Lấy điểm M (x; y) thuộc đồ thị hàm số. Gọi $M H$ là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 0 x  x . Khi đó, độ dài MH tiến tối 0 khi 0 x x   (Hình 13b, d ) hay 0 x x   (Hình 13a, c).
Ví dụ 2. Giải thích vì sao đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3 2 ( ) 1 x y f x x     ? Lời giải Hàm số đã cho có tập xác định là  \{1}. Vì 1 lim ( ) x f x     nên đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 ( ) 2 x y f x x     . Lời giải Hàm số đã cho có tập xác định là  \{2}. Ta có: 1 lim ( ) lim 1 x x 2 x f x   x     , 1 lim ( ) lim 1. x x 2 x f x   x    
Vậy đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 2 2 2 1 3 lim ( ) lim lim 1 x x 2 x 2 x f x x x                     , 2 2 2 1 3 lim ( ) lim lim 1 . x x 2 x 2 x f x x x                     Vậy đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chú ý: Đồ thị hàm số 1 ( ) 2 x y f x x     và hai đường tiệm cận được cho ở Hình 14. III. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Đường thẳng y  ax  b(a  0) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu: lim[ ( ) ( )] 0 x f x ax b     hoặc lim[ ( ) ( )] 0. x f x ax b     Nhận xét: Giả sử đường thẳng y  ax  b(a  0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f (x) . Lấy điểm M thuộc đồ thị hàm số y  f (x) và điểm N thuộc đường thẳng y  ax  b có cùng hoành độ x . Khi đó, độ dài MN tiến tới 0 khi x  ( Hình 16a) hay x   (Hình 16b) . Ví dụ 4. Chứng minh rằng đường thẳng y  2x 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 1 ( ) 2 1 1 y f x x x      . Lời giải Do 2 1 lim[ ( ) (2 1)] lim 0 x x 1 f x x   x      nên đường thẳng y  2x 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Chú ý: Để xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y  ax  b của đồ thị hàm số y  f (x) , ta có thể áp dụng công thức sau: ( ) limx f x a  x  và lim[ ( ) ] x b f x ax    hoặc ( ) limx f x a  x  và lim[ ( ) ] x b f x ax    . (Khi a  0 thì ta có tiệm cận ngang y  b ). Ví dụ 5. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 3 ( ) 2 x x y f x x     . Lời giải
Ta có: 2 ( ) 3 lim lim 1 ( 2) x x f x x x a  x  x x      và 5 lim[ ( ) ] lim 5 x x 2 x b f x x   x      . Vậy đường thẳng y  x  5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x   ). Tương tự, do ( ) lim 1 x f x  x  và lim[ ( ) ] 5 x f x x    nên đường thẳng y  x  5 cũng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x  ). Ví dụ 6. Một bể chứa 5000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 30 gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ 25 lít/phút. a) Chứng tỏ nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng ti số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là 30 ( ) 200 t f t t   . b) Xem y  f (t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0;) , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. c) Nêu nhận xét về nồng độ muối trong bể sau thời gian t ngày càng lớn. Lời giải a) Sau t phút, ta có: khối lượng muối trong bể là 25.30t  750t (gam); thể tích của lượng nược trong bể là 5000  25t (lít). Vậy nồng độ muối sau t phút là 750 30 ( ) ( gam/lit ). 5000 25 200 t t f t t t     b) Ta có: lim ( ) t f t  30 limt 200 t  t    6000 lim 30 30. t 200 t            Vậy đường thẳng y  30 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f (t) (Hình 17) c) Ta có đồ thị hàm số y  f (t) nhận đường thẳng y  30 làm tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ muối trong nược muối được bơm vào bể. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1 x y x    là: A. x  1. B. x  2. C. x 1. D. x  2 . Lời giải Chọn A