Title 100 problems IIBAAK 26092025.pdf ✅

iibaak hay ab + c 2 a + b + ca + b 2 c + a ⩾ 2(b 2 + c 2 ) b + c . Điều này tương đương với (b − c) 2 (b + c) 2 − (a + b)(a + c) ⩾ 0. Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng vì a = min{a, b, c}. Dấu bằng xảy ra tại a = b = c > 0 hoặc a = b > 0, c = 0 và các hoán vị vòng quanh. ∇ Câu 3. Cho các số thực a, b, c khác không thỏa mãn ab + bc + ca = 0. Chứng minh rằng a b + c + b c + a + c a + b ⩾ 15 4 . Phạm Lê Văn@Facebook. Lời giải. Theo giả thiết thì trong ba số ab, bc, ca có ít nhất một số dương. Giả sử ab > 0 và c = − ab a + b . Bất đẳng thức được viết lại thành a 2 −bc + b 2 −ca + c 2 −ab ⩾ 15 4 , hay 1 a + 1 b · a 2 b + b 2 a − ab (a + b) 2 ⩾ 15 4 , hay a b + b a + a 2 b 2 + b 2 a 2 − ab (a + b) 2 ⩾ 15 4 . Đặt t = (a + b) 2 ab ⩾ 4 thì bất đẳng thức trở thành t 2 − 3t − 1 t ⩾ 15 4 . Điều này tương đương với (t − 4)(2t + 1)2 4t ⩾ 0. Phép chứng minh hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = −2c và các hoán vị vòng quanh. ∇ Câu 4. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 1 a + 1 + 1 ab + 1 + 1 abc + 3 ⩾ 1. Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau 1 a + 1 + 1 ab + 1 + 1 abc + 3 ⩾ 9 a(1 + b + bc) + 5. 2