Title Chương 5_Bài 16_ _Lời giải_Toán 9_KNTT.pdf ✅

BÀI 16. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Số điểm chung của đường thẳng và đường tròn 1) Đường thẳng a và đường tròn O gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung (H.5.26a ). 2) Đường thẳng a và đường tròn O gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung H . Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn O tại H (H.5.26 b). 3) Đường thẳng a và đường tròn O gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung (H.5.26c). Nhận xét 1) Cho đường thẳng a và đường tròn O;R . Gọi d là khoảng cách từ O đến a . Từ HĐ1, ta nhận thấy: Đường thẳng a và đường tròn O;R cắt nhau khi d  RH.5.26a, tiếp xúc với nhau khi d  R (H.5.26b) và không giao nhau khi d  R (H.5.26c). 2) Nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH  a . 2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Ví dụ 1. Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn O. Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của O ở điểm C . Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của O. Lời giải Gọi D là giao điểm của AB và OC .
Trong tam giác cân AOBOA  OB, đường cao OD (do OC  AB ) cūng là đường phân giác của góc O , suy ra   O1  O2 . Ta có AOC BOC (c.g.c), vì OC là cạnh chung,   O1  O2 và OA  OB . Từ đó OBC  OAC  90  (do OA là tiếp tuyến), tức là CB vuông góc với bán kính OB tại B Do đó theo định lí 1,CB cũng là tiếp tuyến của O. 3. HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí 2 Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn O cắt nhau tại điểm P thì: Điểm P cách đểu hai tiếp điểm; PO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến; OP là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm. Ví dụ 2. Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn O;R (A và B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OP  AB ; b) Tính PA và PB , biết R  2 cm và PO  4 cm . Lời giải a) Do OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của O nên theo Định lí 2, ta có OP là tia phân giác của góc AOB . Trong tam giác cân AOBOA  OB, đường phân giác OP cũng là đường cao nên ta có OP  AB . b) Tam giác OAP có OAP  90  (do PA tiếp xúc với đường tròn O tại A ) và OA  R  2 cm và OP  4 cm (giả thiết). Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OAP ta có 2 2 2 AP  OA  OP . Từ đó suy ra: 2 2 2 2 2 AP  OP OA  4  2 12. Vậy AP  12  2 3  cm . Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta cũng có BP  AP  2 3 cm .
B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 5.20. Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm,6 cm,7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b . Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đểu cách a một khoảng 6 cm ). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình nào đè lên đường thẳng a , hình nào không đè lên đường thẳng a ? Lời giải - Vì a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6cm nên đường thẳng a tiếp xúc với hình tròn bán kính 6cm, hay hình tròn bán kính 6cm đè lên đường thẳng a . - Vì 4cm  6cm nên đường thẳng a và hình tròn bán kính 4cm không cắt nhau, hay hình tròn bán kính 4cm không đè lên trường thẳng a . - Vì 7cm  6cm;8cm  6cm nên đường thẳng a và hình tròn bán kính 4cm cắt nhau, hay hình tròn bán kính 7cm và 8cm đè lên đường thẳng a . Vậy hình tròn bán kính 4cm không đè lên trường thẳng a , hình tròn bán kính 6cm,7 cm và 8cm đè lên đường thẳng a . 5.21. Cho đường tròn O đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của O. Lời giải Ta có đường thẳng AO là trục đối xứng của đường tròn. Nên B là điểm đối xứng của C qua AO . Gọi H là giao điểm của AO và BC . Khi đó ta có: AH  BC mà d / /BC nên AH  d . Vậy d là một tiếp tuyến của đường tròn. 5.22. Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox , điểm B trên cạnh Oy sao cho OA  OB . Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P . Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn P;PA. Lời giải
Xét OAM và OBM có: OM chung; AOM  BOM (do OM là tia phân giác của góc AOB ); OA  OB Do đó OAM OBM (c.g.c). Suy ra AM  BM (hai cạnh tương ứng). Và OAM OBM 90    (hai góc tương ứng) hay OB  MB. Do đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (M; MA ). Vậy OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) . 5.23. Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn O(A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AB . Tiếp tuyến của O tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F . a) Chứng minh rằng chu Vì của tam giác SEF bằng SA SB . b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn O. Chứng minh rằng SE  SF . Lời giải a) Hai tiếp tuyến EM và EA cắt nhau tại E nên EM  EA. Hai tiếp tuyến FM và EB cắt nhau tại F nên FM  FB. Chu vi tam giác SEF là: . CSEF  SE  SF  EF  SE  SF  EM  MF  SE  EA SF  BF  SA SB Vậy chu vi của tam giác SEF bằng SA SB . b)