Title Đề Thi Chọn Đội Tuyển THPT Chuyên Đại học Vinh Tỉnh Nghệ An Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2016-2017 [Đáp Án].pdf ✅

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 05/10/2016 Bài 1 (5,0 điểm). Cho số thực a  2 và dãy số ( ) n u xác định bởi 1 1 1 ; ln , 1, 2, . . . 2 3 n n n n u u a u u n u        Chứng minh rằng dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của ( ). n u Bài 2 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a b c , ,   2 2 2 2 2 2 2 ( ) .max ( ) , ( ) , ( ) . 3 a b c ab bc ca k a b b c c a a b c             Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn ( ). O Đường thẳng qua A và song song với BC cắt ( ) O tại điểm thứ hai là D. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AD tại J . Đường tròn tâm C bán kính CI cắt ( ) O tại E và F (E thuộc cung BAC). a) Gọi S là giao điểm của IJ với CD. Chứng minh rằng S E F , , thẳng hàng. b) Chứng minh rằng EJ AF  . Bài 4 (5,0 điểm). Bạn An có 12 tấm thẻ, trên mỗi thẻ được ghi một số nguyên từ 1 đến 12, các số trên các thẻ đều phân biệt. a) Chứng minh rằng bạn An có thể chia 12 tấm thẻ đó thành một số nhóm thỏa mãn tính chất ( ) P như sau: trong mỗi nhóm có nhiều hơn một tấm thẻ đồng thời số lớn nhất ghi trên một tấm thẻ nào đó bằng tổng các số ghi trên các tấm thẻ còn lại. b) Nếu bạn An cho bạn Bình n tấm thẻ mang các số từ 1 đến n n (1 12)   thì với những tấm thẻ còn lại bạn An có thể chia thành một số nhóm thỏa mãn tính chất ( ) P được nữa hay không? ----------------- Hết ----------------- Ghi chú:  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay!  Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!
2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 05/10/2016 Bài 1 (5,0 điểm). Cho số thực a  2 và dãy số ( ) n u xác định bởi 1 1 1 ; ln , 1, 2, . . . 2 3 n n n n u u a u u n u        Chứng minh rằng dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của ( ). n u Ta có 1 1 4 3 ln 0 1 0 4. 2 3 2 3 2 3 2 x x x x x x x               (1) Xét hàm 1 ( ) ln 2 3 x f x x x     với 3 ; . 2 x          Ta có 2 2 5 (2 3) 2 8 1 65 '( ) 1 ; '( ) 0 . 1 ( 1)(2 3) 4 2 3 x x x f x f x x x x x x                BBT TH 1. a  4. Từ BBT ta suy ra 2 1 u f u f a f     ( ) ( ) (4) 4. Bằng quy nạp suy ra  4 n u với mọi n  1. (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 0 n n u u    với mọi n  1. Do đó ( ) n u là dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn. TH 2. 2 4.   a x 4 f x( ) f x'( )   0     1 65 4 3  2   2 4
3 Ta có f(2) 2 ln 3 4    và             1 65 1 65 2 4 4 f . Từ BBT suy ra 2 1 u f u f a    ( ) ( ) [2; 4). Bằng quy nạp suy ra [2; 4) n u  với mọi n  1. (3) Từ (1) và (3) suy ra 1 0 n n u u    với mọi n  1. Do đó ( ) n u là dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Vậy với a  2 thì ( ) n u có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim , n u L  khi đó 1 ln 4. 2 3 L L L L L       Vậy lim 4. n u  Bài 2 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a b c , ,   2 2 2 2 2 2 2 ( ) .max ( ) , ( ) , ( ) . 3 a b c ab bc ca k a b b c c a a b c             Không mất tính tổng quát, giả sử a b c   , khi đó   2 2 2 2 max ( ) , ( ) , ( ) ( ) . a b b c c a c a      Ta có 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 a b c a b b c c a a b c            2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 . 3 2 a b b c c a c a         Suy ra 1 . 2 k  Ta có 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 a b c a b b c c a ab bc ca            2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 . 6 4 a b b c c a c a         Suy ra 1 1 . 4 4      k k Vậy 1 1 . 4 2    k Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn ( ). O Đường thẳng
4 qua A và song song với BC cắt ( ) O tại điểm thứ hai là D. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AD tại J . Đường tròn tâm C bán kính CI cắt ( ) O tại E và F (E thuộc cung BAC). a) Gọi S là giao điểm của IJ với CD. Chứng minh rằng S E F , , thẳng hàng. b) Chứng minh rằng EJ AF  . S J F E I O D B C A a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SIC ta có 2 SI SC SD  . . Suy ra / ( ) / ( ). S C S O P P  Do đó S thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn ( ) C và ( ). O Dẫn đến S E F , , thẳng hàng. b) Vì IJ AB / / nên SJD ABC SDA   . Mặt khác EF BC BC AD  , / / . Từ đó suy ra SF là đường trung trực của DJ . Suy ra 0 AEF EFJ AEF EFD AEF EAD       90 . Do đó AE JF  . Dẫn đến J là trực tâm của tam giác AEF. Suy ra EJ AF  .