Title Chuyên đề 9_Giới hạn hàm số_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 9_GIỚI HẠN DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Các định nghĩa a) Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Cho khoảng K chứa điểm 0 x và hàm số f x( ) xác định trên K hoặc trên K x \ 0 . Hàm số f x( ) có giới hạn là số L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số ( xn ) bất kì, x K x n  \ 0 và n 0 x x → thì f x L ( n ) → , kí hiệu 0 lim ( ) x x f x L → = . b) Giới hạn một phía - Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoàng (a x; 0 ). Hàm số f x( ) có giới hạn bên trái là số L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số ( xn ) bất kì, n 0 a x x   và n 0 x x → thì f x L ( n ) → , kí hiệu 0 lim ( ) x x f x L → − = . - Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( x b 0 ; ). Hàm số f x( ) có giới hạn bên phải là số L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số ( xn ) bất kì, 0 n x x b   và n 0 x x → thì f x L ( n ) → , kí hiệu 0 lim ( ) x x f x L → + = . Chú ý: 0 lim ( ) x x f x L → = khi và chỉ khi 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L → → − + = = . c) Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực - Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a + . Hàm số f x( ) có giới hạn là số L khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số ( xn ) bất kì, n x a  và n x → + thì f x L ( n ) → , kí hiệu lim ( ) x f x L →+ = . - Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) − a . Hàm số f x( ) có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số ( xn ) bất kì, n x a  và n x → − thì f x L ( n ) → , kí hiệu lim ( ) x f x L →− = . d) Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm - Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a + . Hàm số f x( ) có giới hạn là + khi x a → + nếu với dãy số ( xn ) bất kì, n x a  và n x a → thì f x( n ) → + , kí hiệu lim ( ) x a f x → + = + . - Các trường hợp lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) x a x a x a f x f x f x → → → + − − = − = + = − được định nghĩa tương tự. e) Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a + . Hàm số f x( ) có giới hạn là + khi x dần tới đương vô cực nếu với dãy số ( xn ) bất kì, n x a  và n x → + thì f x( n ) → + , kí hiệu lim ( ) x f x →+ = + . - Các trường hợp lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) xxx f x f x f x →+ →− →− = − = + = − được định nghĩa tương tự. 2. Một số kết quả giới hạn cơ bản 0 0 lim x x x x → = ; 0 lim x x c c → = , với c là hằng số; Giả sử ( ) 0 lim x x f x L → = và ( ) ( ) 0 lim , x x g x M L M → =  . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim ; lim ; lim ; lim 0 ; x x x x x x x x f x g x L M f x g x L M f x L f x g x L M M g x M → → → →     + = + − = −        =  =    Nếu f x( )  0 và ( ) 0 lim x x f x L → = thì L  0 và ( ) 0 lim x x f x L → = ; Với ck, là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: lim ; lim ; lim 0; lim 0; k k x x x x c c c c c c →+ →− →+ →−     x x = = = = Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0 x x → vẫn còn đúng khi x → + hoặc x →− ; 1 1 lim ; lim x a x a x a x a   → → + − = + = − − − ; Với k là số nguyên dương, ta có: lim ; lim k k x x x x     →+ →− = + = + ( k chẵn) ; lim k x x   →− = − ( k lẻ) B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được ( ) ( ) 50 0 4 t N t t t =  + bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính lim ( ) t N t →+ và cho biết ý nghĩa của kết quả. Câu 2: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C x x ( ) = + 50000 105 . a) Tính chi phí trung bình ( ) _ C x để sản xuất một sản phẩm. b) Tính ( ) _ lim x C x →+ và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Câu 3: Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30gam / lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là ( ) 30 400 t C t t = + (gam/lít). b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu t → + . Câu 4: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f  0 không đổi. Goi d vả d lần lượt lả khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: 1 1 1 d d f + =  hay df d d f  = − Xét hàm số ( ) df g d d f = − . Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa. a) lim ( ) d f g d → + ; b) lim ( ) d g d →+ . Câu 5: Một cái hồ đang chứa 3 600m nước mặn với nồng độ muối 3 20 / kg m . Người ta ngọt hóa nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 3 10 / m phút. a) Viết biểu thức C t( ) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm. b) Tìm giới hạn lim ( ) t C t →+ và giải thích ý nghĩa. Câu 6: Trong hồ có chứa 12000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 40gam / lít vào hồ với tốc độ 20 lít/phút. a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là ( ) 40 (gam / 600 t C t t = + lít ) . b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu bơm nước vào hồ một thời gian dài (xem như t → + ).
Câu 7: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f  0 không đổi. Gọi d và d lần lượt lả khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính. Ta có công thức: 1 1 1 d d f + =  hay df d d f  = − Xét hàm số ( ) df g d d f = − . Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa. a) lim ( ) d f g d → + . b) lim ( ) d g d →+ . Câu 8: Một xưởng sản xuất nón bảo hiểm, tính trung bình mỗi nhân viên có thể lắp ráp được số nón bảo hiểm được tính theo biểu thức ( ) ( ) 600 , 1 0 0 t N t t t = +  với t ngày. Tính lim ( ) t N t →+ và cho biết ý nghĩa của kết quả. Câu 9: Một cơ sở sản xuất bếp gas, tính chi phí sản xuất x (sản phẩm) xác định bởi hàm số: C x x ( ) = + 200 120 (ngàn đồng). a) Tính chi phí trung bình C x( ) để sản xuất một sản phẩm. b) Tính lim ( ) x C x →+ và cho biết ý nghĩa của kết quả. Câu 10: Cho điểm ( ) 2 M t t t , 1 ,0 1 −   nằm trên đường tròn đơn vị 2 2 ( ) : 1 C x y + = , điểm A(1;0) là một giao điểm của ( ) C với trục hoành. Gợi H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành, K là giao điểm của tiếp tuyến của ( ) C tại M với trục hoành. Khi điểm M dần đến điểm A thì tỉ số HK HA dần đến giá trị nào?