Title CHUYÊN ĐỀ 16. CÂU HỎI.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN a) Diện tích hình thang cong Hình thang cong Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x  ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b    , ( ) , trong đó f x( ) là hàm liên tục không âm trên đoạn [ ; ] a b , gọi là một hình thang cong. Ví dụ 1: Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không? Giải Hình a là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị 2 y x  , trục hoành và hai đường thẳng x x   1, 2. Hình b là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị 3 y x  , trục hoành và hai đường thẳng x x   0, 1. Tổng quát, ta có: Định lí 1 Nếu hàm số f x( ) liên tục và không âm trên đoạn [ ; ] a b , thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y f x  ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a x b   , là S F b F a   ( ) ( ) , trong đó F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn [ ; ] a b . Ví dụ 2: Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y f x x   ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x x   1, 2 . Giải Một nguyên hàm của hàm số 3 f x x ( )  là 4 ( ) 4 x F x  . Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là 4 4 2 1 15 (2) (1) . 4 4 4 S F F      CHUYÊN ĐỀ 16. TÍCH PHÂN • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ b) Định nghĩa tích phân Cho f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b . Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn [ ; ] a b thì hiệu số F b F a ( ) ( )  được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x( ) , kí hiệu là ( ) b a f x dx  . Chú ý a) Hiệu F b F a ( ) ( )  thường được kí hiệu là ( ) b a F x . Như vậy ( ) ( ) . b b a a f x dx F x   b) Ta gọi b a  là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f x dx ( ) là biểu thức dưới dấu tích phân và f x( ) là hàm số dưới dấu tích phân. c) Trong trường hợp a b  hoặc a b  , ta quy ước: ( ) 0; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx       Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến: ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x dx f t dt f u du      Ví dụ 3: Tính: a) 3 2 1 x dx   b) 6 0 cos t dt   c) 4 2 0 cos du u   d) 2 1 2x dx  Giải a) 3 3 3 2 3 3 1 1 1 28 3 ( 1) 3 3 3 x x dx             . b) 6 6 0 0 1 cos sin sin sin 0 6 2 t dt t         . c) 4 4 2 0 0 tan tan tan 0 1 0 1 cos 4 du u u           .
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 d) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 x x dx      . Từ Định lí 1 và định nghĩa tích phân, ta có Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f x( ) liên tục và không âm trên đoạn [ ; ] a b , thì tích phân ( ) b a f x dx  là diện tích S (gạch sọc) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y f x  ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  . Vậy ( ) b a S f x dx   Ví dụ 4: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) 1 0 ( 1) x dx   b) 1 2 1 1 x dx    Giải a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông OABC , có đáy nhỏ OC 1, đáy lớn AB  2 và đường cao OA 1. Do đó: 1 0 1 1 3 ( 1) ( ) (1 2) 1 . 2 2 2 OABC x dx S OC AB OA           b) Ta có 2 y x  1 là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ độ O và bán kính 1. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng. Vậy 1 2 1 1 2 x dx      .
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Cho f x g x ( ), ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b . Khi đó, ta có 1) ( ) ( ) b b a a k f x dx k f x dx    ( k là hằng số); 2)         b b b a a a   f x g x dx f x dx g x dx         ; 3)         b b b a a a   f x g x dx f x dx g x dx         ; 4) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b        . Ví dụ 5: Tính: a)   4 3 1 x x dx  3  b)   2 0 2cos x e x dx    c) 4 2 1 3 2x dx x         Giải a)   4 3 4 4 4 4 4 2 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3 4 3 2 x x x x dx x dx x dx            3 4 2 1 255 311 4 1 2 4 1 14 . 4 4 4              b)   2 2 2 0 0 0 2cos 2 cos x x e x dx e dx xdx          2 2 2 2 0 0 2sin 1 2(1 0) 3. x e x e e                   c) 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 3 2 1 2 2 3 3 ln 2 x x x dx dx x dx x x                   1 1 15 9 4 1 2 2 3 1 . ln 2 4 ln 2 4             Ví dụ 6: Tính 3 0 | 2 | x dx   . Giải Ta có: 3 2 3 2 3 0 0 2 0 2 2 3 2 2 0 2 | 2 | | 2 | | 2 | (2 ) ( 2) 9 5 2 2 [(4 2) 0] 6 (2 4) 2 2 2 2 x dx x dx x dx x dx x dx x x x x                                                   PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1. TÍNH TÍCH PHÂN Câu 1. Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm 1 f x( ) x  trên khoảng (0; )  và F(1) 1  . Tính F e( ). Câu 2. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) 2 2 0 4  x dx  b) 2 2 1 1 2 x dx          .