Title Chương 8_Bài 5_ _Lời giải_Phần 1_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 5. KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT DIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Ta đã biết khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng. Trong không gian, khái niệm khoảng cách đó được định nghīa tương tự như trong mặt phẳng. Trong Hình 59, ta có d M MH  ,Δ = . Chú ý: Khi điểm M thuộc đường thẳng Δ thì d M ,Δ 0  = . Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng MN có độ dài a và đường thẳng Δ đi qua N thoả mãn góc giữa hai đường thẳng MN và Δ là j j 0 90 < <  o o . Tính khoảng cách từ M đến Δ theo a,j . Lời giải Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng Δ . Khi đó d M MH  ,Δ = . Vì góc giữa hai đường thẳng MN và Δ là j nên MNH =j . Suy ra MH MN a = = ,sin sin j j . Vậy d M a  ,Δ sin  = j . II. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Cho mặt phẳng P và điểm M không thuộc mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng P . Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P , kí hiệu d M P  , . Chú ý: Khi điểm M thuộc mặt phẳng P thì d M P  , 0   = . Cho đường thẳng và điểm không thuộc . Gọi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng . Độ dài đoạn thẳng gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí hiệu . Δ M Δ H M Δ MH M Δ d M ,Δ
Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , gọi O là giao điểm của AC và BD , SO ABCD ^  , SO a = . Tính: a) Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABCD ; b) Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC. Lời giải(Hình 63) a) Ta có: O ABCD Î  , SO ABCD ^  . Suy ra khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABCD là SO a = . b) Do SO ABCD ^  , BO ABCD Ì   nên SO BO ^ . Vì Bo vuông góc với hai đường thẳng AC và SO cắt nhau trong SAC nên BO SAC ^ . Do O SAC Î , BO SAC ^  nên khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC là 2 2 a BO = . Luyện tập 1: Cho hình chóp S ABC . có SA ABC ^   , AI BC ^ I BC Î  , AH SI H SI ^ Î   . Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng AH . Lời giải       Có Có mà SA ABC SA BC AI BC BC SAI BC AH AH SI AH SBC ^ => ^ ^ Þ ^ Þ ^ ^ Þ ^ Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng AH III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Trong Hình 65 , ta có d AB Δ,Δ¢ = với A B Î Î Δ, Δ', AB AB ^ ^ Δ, Δ¢ và Δ / /Δ¢. Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD A B C D × ¢ ¢ ¢ ¢ có AA a ¢ = , góc giữa hai đường thẳng AB và DD¢ bằng 60o . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A B¢ ¢ Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của A¢ trên AB . Do AB A B / / ¢ ¢ nên d AB A B A H  , ¢ ¢ ¢  = Vì AA DD ¢ ¢ / / nên góc giữa đường thẳng AB và AA¢ bằng góc giữa đường thẳng AB và DD¢. Suy ra A AH¢ = 60o . Trong tam giác vuông HAA¢ có  3 sin sin60 . 2 a A H AA A AH a ¢ ¢ = ¢× = = o Vậy   3 , 2 a d AB A B¢ ¢ = . IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Cho đường thẳng D song song với mặt phẳng P . Khoảng cách giữa đường thẳng D và mặt phẳng P là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng D đến mặt phẳng P , kí hiệu là d P D,  Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song , là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu . Δ Δ' d Δ,Δ¢