Title Chương 5_Bài 2_ _CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 2: TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 1. Trung vị Công thức xác định trung vị của mẫu só liệu ghép nhóm: • Gọi n là cỡ mẫu. • Giả sử nhóm u u m m ; +1  chứa trung vị; • mn là tần số của nhóm chứa trung vị; • C n n n = + +1⁄4+ 1 2 1 m- . Khi đó  1  2 e m m m m n C M u u u n + - = + × - Ví dụ 1. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau: Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Lời giải Gọi 1 2 25 x x x ; , , 1⁄4 là cân nặng của 25 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm. Do x x x x x 1 2 8 9 20 Î 1⁄4 Î 1⁄4 Î 150;155 ; , , 155;160 ; , , 160;165      nên trung vị của mẫu số liệu 1 2 25 x x x ; ; ; 1⁄4 là x13 Î160;165. Ta xác định được 1 25, 12, 1 7 8, 160, 165 m m m n n C u u = = = + = = = + . Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là   25 8 2 160 165 160 161,875 12 Me - = + × - = Ví dụ 2. Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 11 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 11 ở bảng sau: Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Lời giải Do số vỏ chai là số
nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau: Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ chai nhựa là n = + + + + = 53 82 48 39 18 240 Gọi 1 2 240 x x x ; ; , 1⁄4 lần lượt là số vỏ chai 240 học sinh khối 11 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm. Do x x x x 1 53 54 135 , , 10,5;15,5 ; , , 15,5;20,5 1⁄4 Î 1⁄4 Î     nên trung vị của mẫu số liệu 1 2 240 x x x ; , ; 1⁄4 là  120 121    1 15,5;20,5 . 2 x x + Î Ta xác định được 1 240, 82, 53, 15,5, 20,5 m m m n n C u u = = = = = + . Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là   240 53 803 2 15,5 20,5 15,5 19,59. 82 41 Me - = + × - = » Ý nghīa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu. Luyện tập 1. Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau: Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chức muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất để tiếp tục thi vòng 2 . Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây? Lời giải Số vận động viên tham gia chạy là: n = + + + + = 5 12 32 45 30 124 Gọi 1 2 3 124 x x x x ; ; ; ; 1⁄4 lần lượt là thời gian chạy của các vận động viên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Do x x x x 1 5 6 17 , , 21;21,5 ; , , 21,5;22 1⁄4 Î 1⁄4 Î     x x x x 18 49 50 94 , , 22;22,5 ; , , 22,5;23 ; 1⁄4 Î 1⁄4 Î 1⁄4     nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm 22,5;23 Ta có: 1 124; 45; 5 12 32 49; 22,5; 23 m m m n n C u u = = = + + = = = + Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:   124 49 2 22,5 23 22,5 22,55 124 Me - = + × - = Vậy ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá 22,55 giây
2. Tứ phân vị Luyện tập 2. Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau: Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm 25% các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất. Hỏi huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ bao nhiêu giờ trở lên vào nhóm này? Lời giải Số vận động viên được khảo sát là n = + + + + = 3 8 12 12 4 39 . Gọi 1 2 39 x x x ; ; ; 1⁄4 là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có x x x x x x x x x 1 2 3 4 11 12 23 24 35 , , 0;2 ; , , 2;4 ; , , 4;6 ; , , 6;8 Î 1⁄4 Î 1⁄4 Î 1⁄4 Î         . ; x x 36 39 , , 8;10 1⁄4 Î . Do đó đối với dãy số liệu 1 2 39 x x x ; ; ; 1⁄4 thì • Tứ phân vị thứ nhất là 10 x thuộc nhóm 2;4; • Tứ phân vị thứ hai là 20 x thuộc nhóm 4;6; • Tứ phân vị thứ ba là 30 x thuộc nhóm 6;8. Ta nói nhóm 2;4 là nhóm chứa tử phân vị thứ nhất; nhóm [4;6 ) là nhóm chứa tứ phân vị thứ hai; nhóm [6;8) là nhóm chứa tứ phân vị thứ ba. Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q2 , cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q1 , ta thực hiện như sau: • Giả sử nhóm u u m m ; +1  chứa tứ phân vị thứ nhất; • m n là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất; • C n n n = + +1⁄4+ 1 2 1 m- Khi đó 1 1   4 . m m m m n C Q u u u n + - = + × - Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q3 , ta thực hiện như sau: • Giả sử nhóm éu u j j ; +1  ë chứa tứ phân vị thứ ba; • j n là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba; • C n n n = + +1⁄4+ 1 2 1 j- . Khi đó
3 1   3 4 . j j j j n C Q u u u n + - = + × - Ví dụ 3. Hãy xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu trong P2 . Lời giải Nhắc lại: 1 2 39 x x x £ £ 1⁄4 £ là thời gian luyện tập của 39 vận động viên. Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu 1 2 39 x x x ; ; ; 1⁄4 là x20 Î4;6 . Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là   2   2.39 3 8 65 4 4 6 4 5, 417 12 12 Q - + = + × - = » Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu 1 2 39 x x x ; ; ; 1⁄4 là x10 Î2;4. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là 1   1.39 3 59 4 2 4 2 3,6875 8 16 Q - = + × - = = Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu 1 2 39 x x x ; , , 1⁄4 là x30 Î6;8 . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là   3   3.39 3 8 12 169 4 6 8 6 7,042 12 24 Q - + + = + × - = » Chú ý: Nếu tứ phân vị thứ k là  1  1 2 m m x x + + , trong đó mx và m 1 x + thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như x u u m j j Î é -1 ;  ë và x u u m j j + + 1 1 Î é ;  ë thì ta lấy Q u k j = . Ví dụ 4. Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau: a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. b) Một người cho rằng có trên 25% xe của hãng gặp không ít hơn 4 sự cố về động cơ trong 2 năm sử dụng đầu tiên. Nhận định trên có hợp lí không? Lời giải a) Do số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau: