Title Chương 01. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ ĐTHS.pdf ✅

GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 1 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Định nghĩa: Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên K với K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng Hình 1. Hàm số đồng biến trên (a b; ) • Hàm số y f x = ( ) được gọi là đồng biến trên K nếu      x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ). • Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (Hình 1) Hình 2. Hàm số nghịch biến trên (a b; ) • Hàm số y f x = ( ) được gọi là nghịch biến trên K nếu      x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) • Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (Hình 2) • Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. • Khi xét tính đơn điệu mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó. CH ƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO BÀI 01 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1 Tính đơn điệu của hàm số
2 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu: Định lí 1: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên khoảng K. • Nếu f x x K ( )    0, và f x ( ) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số y f x = ( ) đồng biến trên khoảng K . • Nếu f x x K ( )    0, và f x ( ) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số y f x = ( ) nghịch biến trên khoảng K . Chú ý: Nếu hàm số y f x = ( ) đồng biến trên tập K hoặc nghịch biến trên tập K thì hàm số y f x = ( ) còn được gọi là đơn điệu trên tập K  . Định lí 2: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên tập K  , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu f x   ( ) 0 (hoặc f x   ( ) 0 ) với mọi x thuộc K và f x  = ( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y f x = ( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K . Định nghĩa: Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên khoảng (a b; ) và điểm x a b 0 ( ; ). • Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x f x ( )  ( 0 ) với mọi x x h x h a b  − +  ( 0 0 ; ; ) ( ) và 0 x x  thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại 0 x . • Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x f x ( )  ( 0 ) với mọi x x h x h a b  − +  ( 0 0 ; ; ) ( ) và 0 x x  thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại 0 x . Ghi chú: • Nếu hàm số y f x = ( ) đạt cực đại tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cực đại của hàm số, f x( 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu CĐ f hay CĐ y , còn điểm M x f x ( 0 0 ; ( )) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. • Nếu hàm số y f x = ( ) đạt cực tiểu tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số, f x( 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu CT f hay CT y , còn điểm M x f x ( 0 0 ; ( )) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. • Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (còn gọi là cực đại) và giá trị cực tiểu (còn gọi là cực tiểu) được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. • Nếu hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên khoảng (a b; ) và có điểm cực trị là x a b 0 ( ; ) thì f x ( 0 ) = 0 Định lí: Giả sử hàm số y f x = ( ) liên tục trên khoảng K x h x h = − + ( 0 0 ; ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K x \ 0 , với h  0 . • Nếu f x ( )  0 trên khoảng ( x h x 0 0 − ; ) và f x ( 0 )  0 trên khoảng ( x x h 0 0 ; + ) thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số f x( ). • Nếu f x ( )  0 trên khoảng ( x h x 0 0 − ; ) và f x ( 0 )  0 trên khoảng ( x x h 0 0 ; + ) thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số f x( ). 2 Cực trị của hàm số

4 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số cho trước Để xét tính đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số y f x = ( ) , ta có thể thực hiện các bước sau: ▪ Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y f x = ( ). ▪ Bước 2: Tính đạo hàm f x ( ) . Tìm các điểm x i n i( =  1,2, , ) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. ▪ Bước 3: Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. ▪ Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số. Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của các hàm số sau: a) 3 2 y x x x = + − + 2 3 12 2024 b) 4 y x = + 2024 c) 1 4 2 2 2 4 y x x = − + + d) 4 2 y x x = − − 2 2 Lời giải a) 3 2 y x x x = + − + 2 3 12 2024 Ta có: 2 1 6 6 12 0 2 x y x x x  =  = + − =    = − Bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên các khoảng (− −; 2), (1;+) và nghịch biến trên khoảng (−2;1) . Hàm số đạt cực đại tại điểm x =−2 , giá trị cực đại y = 2044 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =−2 , giá trị cực tiểu y = 2017 . b) 4 y x = + 2024 Ta có tập xác định D = và có đạo hàm 3 y x  = 4 ; 3 y x x  =  =  = 0 4 0 0 . Bảng biến thiên B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN