Title Đề Thi Olympic Toán Duyên Hải Bắc Bộ 2013-2014 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 (Đề thi co 01 trang) Câu 1 (4 điểm): Giải phương trình sau trên tập số thực     2 6 3 7 3 15 6 3 2 2 9 27 14 11 x x x x x x           . Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC ( BC AC  ). Gọi M là trung điểm của AB, AP vuông góc với BC tại P, BQ vuông góc với AC tại Q . Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB tại T . Chứng minh rằng TH CM  , trong đó H là trực tâm tam giác ABC. Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số f :  ( là tập số thực) thỏa mãn   3 3 ( ) 4 f f x x x   với mọi x . Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt abc , , sao cho f a f b f c ( ) ( ) ( ) 0    . Bài 4 (4 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị abc , , : 4 4 4 2 a b c abc a b c k ab bc ca         ( ) ( ) Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013 1 n - chia hết cho 2014 2 ---HẾT--- ĐỀ CHÍNH THỨC

Gọi CD AB  tại D . Khi đó AP BQ CD , , đồng quy nên T B D A , , , là hàng điểm điều hòa ( ( ) 1 TBDA   ). Do đó ta có TM TD TATB . .  . Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CDM và ngoại tiếp tứ giác ABPQ , tâm của hai đường tròn này đều nằm trên CM . Nhưng TM TD TATB . .  và HP HA HQ HB . .  nên H T, nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn nói trên. Do đó ta có TH CM  . (ĐPCM) Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số f :  ( là tập số thực) thỏa mãn   3 3 ( ) 4 f f x x x   với mọi x . Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt abc , , sao cho f a f b f c ( ) ( ) ( ) 0    . (Vĩnh Phúc) Nội dung trình bày Điểm Đặt 3 3 ( ) 4 g x x x   thì f f x g x  ( ) ( )   . Suy ra f g x f f f x g f x  ( ) ( ) ( )        . Dễ thấy g x( ) là đơn ánh nên từ f f x g x  ( ) ( )   suy ra f x( ) cũng là đơn ánh. 1,0 Gọi 0 x là một điểm cố định của hàm 0 0 0 1 1 ( ) ( ) 0; ; 2 2 g x g x x x            . 1,0 Ta có f x f g x g f x ( ) ( ) ( ) 0 0 0       , suy ra 0 f x( ) cũng là một điểm cố định của hàm g x( ) 1,0 f x( ) là một song ánh trên tập 1 1 0; ; 2 2 D         nên 1 1 1 1 (0) 0 0 2 2 2 2 f f f                     Từ đó ta có điều phải chứng minh. 1,0 Bài 4 (4 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị abc , , : + + + + + 3 + + ( ) ( ) 4 4 4 2 a b c abc a b c k ab bc ca . (Lê Quí Đôn - Đà Nẵng) Q H B C A T D P M