Title [thuvientoan.net]_Tỷ số kép - Hàng điểm điều hòa ôn thi VMO năm 2022.pdf ✅

Tỉ số kép,hàng điểm điều hoà,ánh xạ xạ ảnh và một số ứng dụng Nguyễn Hữu Đức - Nguyễn Cung Thành THPT chuyên KHTN,ĐHKHTN,ĐHQGHN Tóm tắt Tỉ số kép, hàng điểm điều hoà là một công cụ mạnh và đã là vấn đề quen thuộc đối với tất cả các bạn học sinh chuyên Toán, tuy nhiên, ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh thì có lẽ vẫn chưa thực sự được phổ biến rộng rãi đến với tất cả mọi người.Trong bài viết hôm nay, chúng tôi sẽ đưa ra lại những khái niệm về tỉ số kép, hàng điểm điều hoà cùng với ánh xạ xạ ảnh cũng như những ví dụ minh hoạ để cho thấy sức mạnh của những công cụ này. I Tỉ số đơn, tỉ số kép, hàng điểm điều hoà 1 Tóm tắt lý thuyết Những lý thuyết dưới đây được chúng tôi tham khảo và trích trong [1],[2],[3]. 1.1 Hàng điểm, tỉ số đơn, tỉ số kép 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1. Tập hợp các điểm có thứ tự cùng thuộc một đường thẳng gọi là một hàng điểm, đường thẳng chứa các điểm đó gọi là giá của hàng điểm. Định nghĩa 2. Hàng điểm gồm ba điểm thẳng hàng A, B, C thì có tỷ số đơn được ký hiệu và định nghĩa như sau (AB, C) = CA CB = k, ta còn nói C chia đoạn AB theo tỉ số k. bc A bc B bc C Định nghĩa 3. Hàng điểm gồm bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng thì có tỉ số kép được kí hiệu và định nghĩa như sau (AB, CD) = CA CB : DA DB = k, đôi khi ta còn gọi C, D chia liên hợp A, B tỷ số k, nếu không có gì nhầm lẫn ta gọi hàng bốn điểm là một hàng điểm. 1
bc A bc B bc C bc D 1.1.2 Các tính chất cơ bản của tỉ số đơn và tỉ số kép Ta xét hàng điểm A, B, C, D, ta luôn có các tính chất sau: • (AB, M) 6= 1, (AB, M) = −1 ⇔ M là trung điểm của AB • (AB, CD) = (BA, DC) = (CD, AB) = (DC, BA) • (AB, CD) = 1 (BA, CD) = 1 (AB, DC) = 1 (DC, AB) = 1 (CD, BA) • (AB, CX) = k với A, B, C, k xác định thì X tồn tại duy nhất, tương tự với các vị trí còn lại trong tỉ số kép. • (AB, CD) 6= 1 1.2 Chùm đường thẳng, tỉ số kép của chùm 1.2.1 Các định lý và định nghĩa Định nghĩa 4. Tập hợp các đường thẳng phân biệt, có thứ tự cùng đi qua một điểm gọi là một chùm đường thẳng, điểm các đường thẳng đi qua gọi là tâm của chùm, nếu không có gì nhầm lẫn ta gọi chùm bốn đường thẳng là một chùm (hoặc là chùm đường thẳng). a b c d bc O Để đi đến định nghĩa về tỉ số kép của chùm đường thẳng, ta cần một định lý. 2

Định lý thứ hai cho ta thấy một đường thẳng bất kỳ cắt chùm đường thẳng thì tỷ số kép của hàng các giao điểm là không đổi, ta dùng nó để định nghĩa tỷ số kép của chùm đường thẳng. Định nghĩa 5. Cho chùm đường thẳng a, b, c, d, một đường thẳng ∆ cắt a, b, c, d tại (A, B, C, D) thì tỉ số kép của chùm đường thẳng được định nghĩa và ký hiệu là (ab, cd) = (AB, CD). ∆ bc O bc A bc B bc C bc D 1.2.2 Các tính chất Tỉ số kép của chùm được định nghĩa từ tỉ số kép của hàng điểm nên giữ nguyên các tính chất của tỉ số kép hàng điểm, sau đây ta đưa thêm một định nghĩa khác của chùm và các tính chất khác, ta lưu ý thêm là không có khái niệm tỉ số đơn của chùm ba đường thẳng. Định nghĩa 6. Trên mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D và điểm O bất kỳ không thẳng hàng với hai trong số bốn điểm đó thì OA, OB, OC, OD là một chùm đường thẳng và tỉ số kép của chùm đường thẳng này ta ký hiệu là O(AB, CD). bc O bc A bc B bcC D bc Định nghĩa trên cho ta một cách nhìn chùm đường thẳng thông qua các điểm ở trên nó, định lý sau cho một cách tính khác tỉ số kép một của chùm đường thẳng như vậy. 4