Title °EXAMENS MESURE INTEGRATION SMA5 FSR RABAT 19 20.pdf ✅

Universite Mohammed V de Rabat ́ Faculte des Sciences ́ Departement de Math ́ ematiques ́ Recueil des examens Mesures et Intégration Allal Ghanmi M28 - SMA5 - FSR - 2019-2020
Université Mohammed V, Rabat 2014-2015 Faculté des Sciences M28 - SMA 5 Département de Mathématiques Mardi 11/11/2014 EVALUATION 1 (Durée 1h30) Théorie des mesures et Intégration QCM: ☛ Pour chaque question, il y a une seule bonne réponse, cochez la par X. ➠Barème : réponse juste =+1/2 point ; réponse fausse = -1/2 point ; pas de réponse=0 point. ➠Abréviation ARNJ: Aucune réponse n’est juste Question 1: Soit (X,M) un espace mesurable et f : X −→ R une application mesurable. Alors, • f est continue • {x ∈ X; f (x) > α} ∈M; ∀α ∈ R • f (A) est ouvert; ∀A ∈M • ARNJ Question 2: Soient An, A et B des parties mesurables d’un espace mesuré (X,M,μ). Alors, μ vérifie • μ μ +∞S n=0 An ¶ = +∞P n=0 μ(An). • μ(B \ A) = μ(B)−μ(A). • μ(B∪ A) = μ(A)+μ(B) si B ⊂ cA. • ARNJ Question 3: Soit (X,M,μ) un espace mesuré de mesure σ-finie et An ∈M deux à deux disjoints, alors, • μ μ +∞` n=0 An ¶ = +∞P n=0 μ(An) avec μ(An) < +∞ • μ(X) < +∞ • ∃n0; μ(An0 ),μ( cAn0 ) ∈ R + • ARNJ Exercice 1 Soit (X,A ,μ) un espace mesuré tel que μ(X) = 1, et M = © A ∈ A ; μ(A) = 0 ou μ(A) = 1 a . Montrer que M est une tribu sur X. 1pt Exercice 2 On admettra que la tribu de Borel sur R, notée B(R), est engendrée par {]a,+∞[ ; a ∈ R}. (1) Montrer que B(R) est engendrée par {]a,+∞[ ; a ∈ Q}. 1,5pt (2) Soient (X,M) un espace mesurable, f , g : (X,M) → (R,B(R)) deux applications mesurables. (a) Montrer que pour tout r ∈ Q, on a l’égalité : 1,5pt {x ∈ X ; f (x)+ g (x) > r } = [ s∈Q ¡ {x ∈ X ; f (x) > s}∩{x ∈ X ; g (x) > r − s} ¢ . (b) En déduire que f + g est mesurable. 1,5pt Exercice 3 Soient (X,M,μ) un espace mesuré et (An)n∈N une suite d’éléments de M. (1) On suppose, dans cette question, que pour tout entier n, An ⊆ An+1. Montrer que limn→∞ μ(An) = μ μ S n∈N An ¶ . 1,5pt (2) On suppose que μ(X) < +∞ et que pour tout entier n, μ(An) = μ(X). (a) Montrer que pour tout entier n, μ μ X \ μ Tn k=0 Ak ¶¶ = 0. 1,5pt (b) En déduire que μ μ T n∈N An ¶ = μ(X). 1,5pt (3) Donner un exemple d’un espace mesuré (X,M,μ) et d’une suite (An)n∈N d’éléments de M telle que pour tout entier n, μ(An) = +∞ et μ μ T n∈N An ¶ < +∞. 1pt Exercice 4 Soit (X;A ;μ) un espace mesuré fini, et (An)n∈N et (Bn)n∈N deux suites d’éléments de A . (1) Montrer que 1,5pt μ [ n∈N An ¶ \ μ [ n∈N Bn ¶ ⊂ [ n∈N (An \ Bn). (2) Dans cette question, on suppose de plus que Bn ⊂ An pour tout n ∈ N. Montrer que 1,5pt μ μ [ n∈N An ¶ −μ μ [ n∈N Bn ¶ ≤ X n∈N ¡ μ(An)−μ(Bn) ¢ . Exercice 5 Soit (X,A ,μ) un espace mesuré et f : X −→ R une application mesurable. On considère B = © x ∈ X; f (x) 6= 0 a et pour tout entier n ∈ N, on note par An l’ensemble An = f −1 ([−n,n]). (1) Montrer que si μ(X) 6= 0, alors il existe n0 ∈ N tel que μ(An0 ) 6= 0. 1,5pt (2) Vérifier que B ∈ A . 1,5pt (3) On suppose que μ(B) 6= 0. Montrer qu’il existe A ∈ A et ε > 0 vérifiant μ(A) 6= 0 et |f (x)| ≥ ε pour tout x ∈ A. 1,5pt M28 - SMA5 - FSR - Pr. A. Ghanmi
Universite Mohammed V, Rabat ́ 2014-2015 Faculte des Sciences ́ M28 - SMA 5 Departement de Math ́ ematiques Samedi 07/02/2015 ́ RATTRAPAGE - Th ́eorie des mesures et Int ́egration (Dur ́ee 1h30) N.B.: L’ ́etudiant doit r ́epondre aux questions de cours et doit traiter obligatoirement les exercices 1 et 2 ainsi que l’un des exercices 3 o `u 4. Questions de cours: Rappeler avec precision l’ennoc ́ e du ́ (1) Theor ́ eme de convergence monotone. ` 1pt (2) Theor ́ eme de convergence domin ` ee. ́ 1pt (3) Theor ́ eme de Fubini. ` 1pt Exercice 1 Pour x ∈ R on pose f(x) = Z +∞ 0 e −t 2 cos(tx)dt. (1) Montrer que f est de classe C 1 sur R. 2pt (2) Montrer que f verifie l’ ́ equation diff ́ erentielle 2 ́ y 0 + xy = 0. 2pt (3) En deduire une expression explicite de ́ f . 2pt Exercice 2 Soit (X, A , μ) un espace mesure et ́ h : E −→ [0, +∞] une application mesurable. Pour tout A ∈ A , on pose ν(A) = Z A hdμ. (1) Montrer que ν est une mesure sur (X, A ). 2pt (2) Soit A ∈ A tel que μ(A) = 0. Montrer que ν(A) = 0. 2pt (3) Soit f : X −→ R une fonction mesurable. Montrer que f est ν-integrable si et seulement si ́ f h est μ-integrable et que dans ce cas on a: ́ 3pt Z X f dν = Z X f hdμ. Exercice 3 Soit (X, A , μ) un espace mesure. ́ (1) Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions integrables de ́ X dans R. Montrer que 2pt ∑ n≥0 Z X | fn|dμ < ∞ =⇒ ∑ n≥0 Z X fndμ = Z X ∑ n≥0 fn dμ. (2) On se place dans le cas ([0, 1], B([0, 1]), λ). Montrer que si f ∈ L2 R ([0, 1], λ), alors 2pt ∑ n≥1 1 n Z [0,1] t n f(t)dt = Z [0,1] ln 1 1 − t f(t)dt. Exercice 4 Soit (X, A , μ) un espace mesure. ́ (1) On se donne deux fonctions mesurables f et g de X dans R + telles que f g ≥ 1. Montrer que 2pt Z X f dμ Z X gdμ ≥ (μ(X))2 . (2) On suppose qu’il existe une fonction integrable ́ f : X → R telle que 1/ f soit integrable. Montrer que ́ la mesure μ est finie. 2pt M28 - SMA5 - FSR - Pr. A. Ghanmi
Universite Mohammed V, Rabat ́ 2015-2016 Faculte des Sciences ́ M28 - SMA 5 Departement de Math ́ ematiques ́ CF - Exceptionnel Th ́eorie des mesures et Int ́egration (Dur ́ee 1h30) Questions de cours: Rappeler avec precision l’ennoc ́ e du ́ (1) Theor ́ eme de convergence monotone. ` 1pt (2) Theor ́ eme de convergence domin ` ee. ́ 1pt (3) Theor ́ eme de Fubini. ` 1pt Exercice 1 Pour x ∈ R on pose f(x) = Z +∞ 0 e −t 2 cos(tx)dt. (1) Montrer que f est de classe C 1 sur R. 2pt (2) Montrer que f verifie l’ ́ equation diff ́ erentielle 2 ́ y 0 + xy = 0. 2pt (3) En deduire une expression explicite de ́ f . 2pt Exercice 2 Soit (X, A , μ) un espace mesure et ́ h : E −→ [0, +∞] une application mesurable. Pour tout A ∈ A , on pose ν(A) = Z A hdμ. (1) Montrer que ν est une mesure sur (X, A ). 2pt (2) Soit A ∈ A tel que μ(A) = 0. Montrer que ν(A) = 0. 2pt (3) Soit f : X −→ R une fonction mesurable. Montrer que f est ν-integrable si et seulement si ́ f h est μ-integrable et que dans ce cas on a: ́ 3pt Z X f dν = Z X f hdμ. Exercice 3 Soit (X, A , μ) un espace mesure. ́ (1) Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions integrables de ́ X dans R. Montrer que 2pt ∑ n≥0 Z X | fn|dμ < ∞ =⇒ ∑ n≥0 Z X fndμ = Z X ∑ n≥0 fn dμ. (2) On se place dans le cas ([0, 1], B([0, 1]), λ). Montrer que si f ∈ L2 R ([0, 1], λ), alors 2pt ∑ n≥1 1 n Z [0,1] t n f(t)dt = Z [0,1] ln 1 1 − t f(t)dt. M28 - SMA5 - FSR - Pr. A. Ghanmi