Title Chuyên đề 17. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP.doc ✅

Chuyên đề 17. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa * Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. * Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. * Một tứ giác được gọi là tứ giác ngoại tiếp nếu tồn tại một đường tròn tiếp xúc với các cạnh của tứ giác đó. Đường tròn đó gọi là đường tròn nội tiếp tứ giác. 2. Định lí 1. Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. 3. Định lí 2. Tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi ba trong bốn góc của tứ giác có các đường phân giác đồng quy. 4. Định lí 3. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn khi và chỉ khi ABCDADCB . A. Một số ví dụ Ví dụ 1. (Chứng minh định lý 3) Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn khi và chỉ khi ABCDADCB . Giải Tìm cách giải. Ví dụ này cần chứng minh hai phần: * Điều kiện cần: Cho giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, chứng minh rằng ABCDADCB . Phần này cơ bản bởi chỉ cần dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. * Điều kiện đủ: Với ABCDADCB , cần chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn. Để giải phần này, chúng ta cần vận dụng định lý 2, tức là chứng minh ba trong bốn góc của tứ giác có các đường phân giác đồng quy. Trình bày lời giải * Điều kiện cần: Dành cho bạn đọc. * Điều kiện đủ: - Nếu ABAD thì CDCB . Khi đó giao điểm I của AC với đường phân giác trong góc B chính là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Ta có điều phải chứng minh. - Nếu trường hợp ABAD . Vì ABCDADCB nên BCCD . Do đó tồn tại các điểm E, F thứ tự trên AB, BC sao cho ,AEADCFCD . Suy ra BEBF . Vì các tam giác ADE, BEF, CDF cân tại A, B, C nên các đường phân giác trong của góc A, B, C chính là các đường trung trực tương ứng của các cạnh DE, EF, FD của tam giác DEF, do đó chúng đồng quy. - Nếu trường hợp ABAD . Chứng minh tương tự. Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, biết rằng các tia AB, DC cắt nhau tại E; các tia AD, BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: a) AECFAFCE . b) BEBFDEDF . Giải Tìm cách giải. Tứ giác ngoại tiếp đường tròn có nhiều tiếp tuyến cắt nhau. Do vậy để chứng minh các yếu tố về độ dài ta nên khai thác: Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì giao điểm cách đều hai tiếp điểm. Trình bày lời giải a) Gọi M, N, P, Q là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh DA, AB, BC, CD. Ta có: AECFANENFPCP AMEQFMCQ
AMFMEQCQ AFEC b) Ta có: EBBFENBNBPFP ENFPEQFM EDDQDMFD EDDF . Nhận xét. Bạn đọc có thể chứng minh bài toán đảo của bài toán trên để từ đó có thêm hai dấu hiệu nhận biết tứ giác ngoại tiếp. Ví dụ 3. Tính cạnh của hình 12 cạnh đều theo bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Giải Tìm cách giải. Để trình độ dài cạnh 12 cạnh đều, ta có hai cách: Cách 1. Tính cạnh của lục giác đều trước. Sau đó dùng định lý Py-ta-go tính cạnh đa giác. Cách 2. Dùng công thức: 180180 2.sin2.tanaRr nn   . Trong đó: a: độ dài cạnh đa giác đều. R: bán kinh đường tròn ngoại tiếp đa giác r: bán kình đường tròn nội tiếp đa giác n: số cạnh đa giác đều Trình bày lời giải Cách 1. Xét hình 12 cạnh đều nội tiếp đường tròn có cạnh AB như hình vẽ, thì AC là cạnh của hình lục giác đều. Gọi AC cắt OB tại I, suy ra OBAC . Ta có: OACΔ là tam giác đều nên: 22 ACR AI . OAIΔ vuông tại I nên: 2 22233 42 RR OIOAAIOI 233 22 R R BIOBOIR   . ABIΔ vuông tại I nên:   2 2 2 2222 23 23 44 R R ABAIBIR   62843 23 22 R R ABR    Cách 2. Áp dụng công thức, ta có: 62180 2.sin2.sin15 122 R ABaRR    (Xem bài 4.3 có 62 sin15 4   )
Ví dụ 4. Cho hình thang ABCD với BC song song với AD với các góc BAD và CDA là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi P là điểm bất kì trên đoạn thẳng BC (P không trùng với B, C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P. Gọi Q là giao điểm của đường thẳng BM và CN. Chứng minh rằng lục giác AMINDQ là lục giác nội tiếp. Giải Tìm cách giải. Để chứng minh đa giác nội tiếp ta có thể đưa về chứng minh các tứ giác nội tiếp. Cụ thể chứng minh lục giác AMINDQ là lục giác nội tiếp, ta chứng minh tứ giác AMID, DNIA, QMIN là các tứ giác nội tiếp. Trình bày lời giải BPIM là tứ giác nội tiếp nên BPMBIM mà BC // AD nên MADBPA . Suy ra MADBIM => Tứ giác AMID là tứ giác nội tiếp (1) Tương tự ta có tứ giác DNIA là tứ giác nội tiếp (2) Từ các tứ giác BMIP và CNIP nội tiếp Suy ra QMIBPICNI Tứ giác QMIN là tứ giác nội tiếp (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra A, M, I, N, D, Q cùng thuộc một đường tròn hay lục giác AMINDQ là lục giác nội tiếp. B. Bài tập vận dụng 17.1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp điểm trên AB, CD theo thứ tự là E, F. Chứng minh rằng AC, BD, EF đồng quy. 17.2. Cho đường tròn (O; r) tiếp xúc với 4 cạnh của tứ giác ABCD. Gọi M là một điểm trong của tứ giác. Biết rằng diện tích tứ giác ABCD bằng 4. Chứng minh rằng có ít nhất một cạnh của tứ giác mà khoảng cách từ M tới cạnh đó không lớn hơn 1. 17.3. Tam giác ABC có đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AB, AC và với hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh ABCΔ cân tại A. 17.4. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), đồng thời nội tiếp một đường tròn khác AB = 14cm, BC = 18cm, CD = 26cm. Gọi H là tiếp điểm của CD và đường tròn (O). Tính các độ dài HC, HD. 17.5. Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O). Gọi a, b, c lần lượt là khoảng cách từ điểm E đến các đường thẳng AB, BC và CD. Tính khoảng cách từ E đến đường thẳng AD theo a, b và c. 17.6. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau thì đường thẳng đó đi qua tâm của đường tròn đó. 17.7. Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD) tiếp xúc với cạnh AB tại E với cạnh CD tại F. a) Chứng minh BEDF AECF . b) Cho biết ,,2.ABaCBbabBEAE . Tính diện tích hình thang ABCD. (Tuyển sinh 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội, năm học 2000-2001) 17.8. Cho đường tròn tâm O và một điểm P nằm ở bên trong đường tròn đó. Qua P ta kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau. 1. Chứng minh rằng: a) ..PAPBPCPD ; b) Tổng 2222PAPBPCPD có giá trị không thay đổi với bất cứ vị trí nào của điểm P nằm ở bên trong đường tròn đã cho.
2. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ điểm P xuống các cạnh AC, BC, BD và DA thứ tự là H, I, K, L và gọi trung điểm của các cạnh AC, BC, BD và DA thứ tự M, N, R, Q. Chứng minh rằng tám điểm H, I, K, L, M, N, R, Q cùng nằm trên một đường tròn (Thi HSG lớp 9, Toàn quốc, năm học 1989-1990) 17.9. Cho đường tròn (O; R) nội tiếp hình thang ABCD (Có AB // CD), với G là tiếp điểm của đường tròn (O; R) với các cạnh CD, biết 4 3 R AB và 5 2BCR . Tính tỉ số GD GC . 17.10. Cho tam giác ABC có trực tâm H và A’, B’, C’ lần lượt là các trung điểm các cạnh BC, AC, AB. Vẽ ba đường tròn bằng nhau có tâm A, B, C; đường tròn tâm A cắt đường thẳng B’C’ tại D và D’; đường tròn tâm B cắt đường thẳng A’C’ tại E và E’; đường tròn tâm C cắt đường thẳng A’B’ tại K và K’. Chứng minh rằng: 6 điểm D, D’, E, E’, K, K’ cùng thuộc một đường tròn có tâm H. 17.11. Một số cạnh của một đa giác lồi được tô đỏ, các cạnh còn lại được tô xanh. Tổng độ dài các cạnh đỏ nhỏ hơn nửa chu vi và không có hai cạnh liền nhau nào cùng được tô xanh. Chứng minh rằng đa giác đã cho không thể ngoại tiếp được đường tròn. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 17.1. Gọi H là tiếp điểm của BC và đường tròn (O; r). Ta có ,,90BEBHCFCHBOC Nên 2..BECFBHCHr . Tương tự 2.AEDFr Suy ra ..BECFAEDF , do đó BEAE DFCF . Gọi I là giao điểm của BD và EF. Ta có BEIE DFIF . Suy ra AEIE CFIF Từ đó ..AIECIFcgcΔ∽Δ . Dễ dàng chứng minh A, I, C thẳng hàng. Suy ra điều phải chứng minh. 17.2. Đặt ABCDSS