Title Partiel 2020 2021 - Algèbre Bilinéaire.pdf ✅

Universit ́e Saint-Joseph Facult ́e d’ing ́enierie - ESIB D ́epartement des Classes Pr ́eparatoires - SPE 15 mars 2021 Examen partiel: Alg`ebre bilin ́eaire et g ́eom ́etrie Dur ́ee: 1h30 - Documents interdits - Calculatrices interdites - Nb de pages: 1 Exercice 1. Diagonaliser la matrice A =   0 0 0 −1 1 1 −1 1 1   et trouver son exponentielle. Exercice 2. On consid`ere la matrice A =   3 2 −2 −1 0 1 1 1 0  . 1. Trouver μA le polynˆome minimal de A. 2. Ecrire la division euclidienne de Xn par μA. En utilisant cette ́equation et en la d ́erivant, trouver le reste de cette division euclidienne. 3. D ́eduire An pour tout n ∈ N. 4. On pose u0 = v0 = w0 = 1. R ́esoudre le syst`eme de suites r ́ecurrentes suivant: (S)    un+1 = 3un + 2vn − 2wn vn+1 = −un + wn wn+1 = un + vn Exercice 3. On consid`ere la matrice A =   3 −1 −1 −1 2 0 3 −2 0   . 1. Trouver une matrice triangulaire sup ́erieure semblable `a A via une matrice inversible P `a d ́eterminer. 2. R ́esoudre le syst`eme diff ́erentiel (S) tel que x(0) = 0, y(0) = 1 et z(0) = 2. (S)    x 0 = 3x − y − z y 0 = −x + 2y z 0 = 3x − 2y. Exercice 4. Soient a, b, c, d quatre r ́eels tels que bcd 6= 0. On d ́efinit la matrice A =   a −b −c −d b a d −c c −d a b d c −b a  . 1. Calculer (A − XI)(At − XI). 2. D ́eduire le polynˆome caract ́eristique de A. 3. Montrer que la matrice A n’est pas diagonalisable sur R. Bon travail!