Title Chương 7_Bài 25_ _Đề bài_Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC HĐ1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a a , ' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b b , ' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a b, ) và (a b ', ' .) Lời giải Vì a a , ' đều vuông góc với (P b b ), , ' đều vuông góc với (Q) nên ta có thể suy ra: • Góc giữa a và b bằng góc giữa a và b ' ' (vì hai góc này đều là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau). • Góc giữa a và a ' bằng góc giữa b và b ' (vì hai góc này đều là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng khác nhau). • Hai góc (a b và a b , ', ' ) ( ) đều bằng góc giữa đường thẳng a a ' ( ) và đường thẳng b b ' . ( ) Từ đó suy ra, góc (a b, ) bằng góc (a b', ') (do cùng bằng góc giữa a và b , và giữa a và b ' ' đều có mối quan hệ tương tự). Vậy mối quan hệ giữa hai góc (a b và a b , ', ' ) ( ) là bằng nhau. • Cho hai mặt phẳng và . Lấy các đường thẳng tương ứng vuông góc với . Khi đó, góc giữa a và không phụ thuộc vào vị trí của và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . • Hai mặt phẳng và được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng . Chú ý. Nếu là góc giữa hai mặt phẳng và thì . ? Góc giữa hai mặt phẳng bằng khi nào, khác khi nào? Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến . Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng . Gọi là các đường thẳng đi qua , tương ứng thuộc và vuông góc với . Chứng minh rằng góc giữa và bằng góc giữa và . Lời giải (H.7.45) (P) (Q) ab, (P Q ),( ) b ab, (P) (Q) (P) (Q) 90  (P) (Q) 0 90    0 0 (P) (Q) Δ O Δ mn, O (P Q ),( ) Δ (P) (Q) m n
Trong mặt phẳng chứa , lấy một điểm không thuộc các đường thẳng . Gọi tương ứng là hình chiếu của trên . Khi đó vuông góc với các đường thẳng . Do nên . Tương tự, . Do đó, góc giữa và bằng góc giữa và . nên bốn điểm thuộc một đường tròn. Do đó, và bằng hoặc bù nhau, tức là . Vậy góc giữa và bằng góc giữa và . Nhận xét. Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến . Lấy hai đường thẳng tương ứng thuộc và cùng vuông góc với tại một điểm (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với , cắt tương ứng theo các giao tuyến . Khi đó, góc giữa và bằng góc giữa và . Đặc biệt, vuông góc với (Q) khi và chỉ khi vuông góc với . Luyện tập 1. Cho hình chóp S ABC . D , đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ABC ⊥ ( D) . Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông. Lời giải mn, E mn, AB, E mn, Δ EA EB , EA m EA ⊥ ⊥ , Δ EA P ⊥ ( ) EB Q ⊥ ( ) (P) (Q) EA EB OAE OBE = = 90 O A E B , , , AOB AEB (EA EB m n , , ) = ( ) (P) (Q) m n (P) (Q) Δ mn, (P Q ),( ) Δ O Δ (P Q ),( ) m n, ) (P) (Q) m n (P) m n
Vì SO ABCD ⊥ ( ), ta có SO song song với đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD. Do đó, để chứng minh AC SOvà BD SO ⊥ ⊥ . Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC vuông góc với BD . Do đó, ta có AC SOvà BD SO ⊥ ⊥ . Vì ABCD là hình chữ nhật có tâm O , nên OA OC vàOB OD = = . Từ đó, ta có SA SBvà ASO BSO = = . Do đó, tam giác ASOvà BSO đồng dạng, từ đó suy ra SA SOvà SB SO ⊥ ⊥ . Vì ABCD là hình vuông, nên AC vuông góc với BD. Khi đó, góc giữa (SAC và SBD ) ) ( là góc giữa đường thẳng AC và BD , mà đó chính là góc vuông. Do đó, (SAC và SBD ) ) ( vuông góc với nhau. 2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC HĐ2. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a P ⊥ ( ) (H.7.47). a) Tính góc giữa a và b . b) Tính góc giữa (P) và (Q). Lời giải a) Chọn một điểm A trên đường thẳng a và kết nối A với bằng một đường thẳng tạo thành một mặt phẳng (S ) vuông góc với cả a và b . Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng b , ta có thể xây được một mặt phẳng chứa a và b là mặt phẳng (T ) qua A và H . Khi đó, góc giữa a và b bằng góc giữa hai mặt phẳng (S và T ) . ( ) b) Chọn một điểm B trên đường thẳng b và kết nối B với một điểm C trên (Q) bằng một đường thẳng tạo thành một mặt phẳng (U ) vuông góc với cả b và (Q) . Gọi K là hình chiếu của B trên (P) , ta có thể xây được đường thẳng c là đường thẳng (KL) đi qua K và vuông góc với (P) . Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa đường thẳng b và c . Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với OB và OC . Chứng minh rằng các mặt phẳng (OAB) và (OAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC). Lời giải
Do OA vuông góc với OB và OC nên OA OBC ⊥ ( ) . Mặt khác, các mặt phẳng (OAB OAC ),( ) chứa OA Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC). Luyện tập 2. Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng - mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà. 3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC HĐ3. Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc và vuông góc với giao tuyến của và . Gọi là giao điểm của a và . Trong mặt phẳng (Q), gọi là đường thẳng vuông góc với tại . a) Tính góc giữa và . b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q). Lời giải a) Vì a là đường thẳng vuông góc với giao tuyến  của (P và Q ) , ( ) nên khi kéo a sang mặt phẳng (Q), đường a sẽ song song với đường b (vì b là đường vuông góc với Δ). Do đó, góc giữa a và b là 0  . b) Mỗi quan hệ giữa a và Q : ( ) • Đường a và đường b là hai đường thẳng vuông góc với nhau. • Điểm O là giao điểm của đường a và .  Khi kéo đường a sang mặt phẳng (Q), ta thu được đường a ' song song với a . Do đó, đường a ' cũng vuông góc với đường b . (P) (Q) (P) Δ (P) (Q) O Δ b Δ O a b