Title Chương 5_Bài 2_ _Đề bài_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 1. Biến cố hợp HĐ 1: Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”. Gọi  là không gian mẫu của phép thử đó. Xét hai biến cố A và B nêu trong bài toán ở phần mở đầu. a) Viết các tập con A B, của tập hợp  tương ứng với các biến cố A B, . b) Đặt C A B =  . Phát biểu biến cố C dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Lời giải a) Có A B = = 2; 4; 6 ; 3; 6    . b) Biến cố C là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”. Ta có định nghĩa sau: Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố C , tức là  C . Vì C A B =  nên   A hoặc  B. Nói cách khác,  là một kết quả thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B . Điều đó có nghĩa là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “ A xảy ra hoặc B xảy ra ” hay “có ít nhất một trong các biến cố A B, xảy ra”. Ví dụ 1: Trong hộp kín có 10 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố : A : “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”. B : “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”. Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây : a) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh”. b) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra khác nhau”. c) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra có cùng màu”. Giải Phát biểu a) đúng ; phát biểu b) sai ; phát biểu c) đúng. Lời giải Biến cố hợp của hai biến cố A và B là: "Chiếc thẻ rút ra là số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4". 2. Biến cố giao Ta có định nghĩa như sau: Luyện tập 1. Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,...,12; hai thẻ khác nhau thi ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. Phát biểu biến cố A B  dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Cho hai biến cố A và B . Khi đó A B, là các tập con của không gian mẫu  . Đặt C A B =  , ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B , kí hiệu là A B 
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố D , tức là   D . Vì D A B =  nên   A và   B . Nói cách khác,  là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B . Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”. Ví dụ 2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, ..., 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, A B  . Lời giải Ta có A B = = 3;6;9;12;15;...;48;51 ; 4;8;12;16;20;...;4   8;52 ; A B  = 12;24;36;...;48 . Luyện tập 2. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số lẻ” và B: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ”. Phát biểu biến cố A B  dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Lời giải Biến cố giao của hai biến cố A và B là: ""Sau khi gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số chẵn và số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ". 3. Biến cố xung khắc HĐ3. Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”. Gọi  là không gian mẫu của phép thử đó. Xét các biến cố: A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ”; B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”. a) Viết các tập con A, B của không gian mẫu  tương ứng với các biến cố A, B. b) Tìm tập hợp A B  . Lời giải a) A B 1; 3; 5 2; 4; = =  ;  6 . b) A B  =  Ta có định nghĩa sau: Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu  . Nếu A B  =  thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc. Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố A, tức là   A . Vì A B  =  nên   B , tức là  không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Ví dụ 3. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”; B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ nhất”. Cho hai biến cố A và B . Khi đó A B, là các tập con của không gian mẫu  . Đặt D A B =  , ta có D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B , kí hiệu là A B  hay AB .
Hai biến cố trên có xung khắc hay không? Lời giải Ta thấy: A SS NN B NS NN = =  , ; ,   . Suy ra A B  =  . Do đó, A và B là hai biến cố xung khắc. Luyện tập 3. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc không? A: “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5”; B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6”; Lời giải Có A = 2; 3; 4   ; B = 7; 8; 9; 10; 11; 12   =  A B . Vậy A và B là hai biến cố xung khắc. 4. Biến cố độc lập HĐ4. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”; B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ hai”. Đối với hai biến cố A, B, hãy cho biết một kết quả thuận lợi cho biến cố này có ảnh hưởng gì đến xác xuất xảy ra của biến cố kia hay không. Lời giải Một kết quả thuận lợi cho biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia . Ta có định nghĩa sau: Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Chú ý: Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và B ; A và B; A và B . Ví dụ 4. Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”. a) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao? b) Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao? Lời giải a) Trước hết, biến cố B xảy ra sau biến cố A nên việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố A . Mặt khác, ta có: xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra bằng 4 7 ; xác suất của biến cố B khi biến cố A không xảy ra cũng bằng 4 7 . Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B . Vậy hai biến cố A và B là độc lập. b) Ta thấy kết quả (xanh ; đỏ) là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B . Vì thế A và B
không là hai biến cố xung khắc. Luyện tập 4. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc không? A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố”; B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số”. Hai biến cố A và B có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao? Lời giải Ta có A B 2; 3; 5 ; 4; 6 = =      Biến cố A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Điều này có nghĩa là xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B , và ngược lại. Việc gieo xúc xắc cân đối và đồng chất là một quá trình độc lập và không liên quan đến nhau.  Biến cố A và B là hai biến cố xung khắc vì A B  =  . III. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1. Công thức cộng xác suất Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố A : "Số được viết ra là số chia hết cho 2 " và biến cố B : "Số được viết ra là số chia hết cho 7". a) Tính P( ),P( ),P( ) A B A B  và P( ) A B  . b) So sánh P( ) A B  và P( ) P( ) P( ) A B A B + −  . Lời giải Có A B = = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20 , 7;    14 ( ) 10 1 2 1 1 11 ; ; 20 2 20 10 20 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P A B P A B Có P A B P A P B P A B = = = =   =  =  = + −  Ta có định lý sau: Cho hai biến cố A và B . Khi đó P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) (  = + −  ) . Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì A B  =  , suy ra P A B (  =) 0 . Vì thế, ta có hệ quả sau: Hệ quả: Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì P( ) P( ) P( ) A B A B  = + . Ví dụ 5 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có hai chữ số. Xét biến cố A : "Số được viết ra là số chia hết cho 8 " và biến cố B : "Số được viết ra là số chia hết cho 9 ". Tính P( ) A B  Lời giải Trong 90 số có hai chữ số, có 11 số chia hết cho 8, có 10 số chia hết cho 9 và có 1 số chia hết cho cả 8 và 9. Vì thế, ta có: 11 10 1 P( ) ,P( ) ,P( ) 90 90 90 A B A B = =  = .