Title Chương 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG - HÌNH CHÓP ĐỀU.pdf ✅

Trang 1 Chương 4 HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU Khác với tất cả các chương trước đây, chương này chỉ trình bày một số kiến thức cơ bản dựa theo sách giáo khoa và một vài ví dụ. Không có các kiến thức mở rộng nâng cao, vì nếu muốn có, theo chúng tôi, cần phải đưa thêm vào các khái niệm và tính chất của hình học không gian sẽ học sau này ở lớp trên. § 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT 1.1. Hình hộp chữ nhật Hình hộp chữ nhật là hình có 6 mặt đều là những hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh. Bất cứ hai mặt nào không chung cạnh đều được gọi là hai mặt đối diện và đều có thể xem là hai mặt đáy. Khi đó, các mặt còn lại được gọi là các mặt bên. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật đặc biệt, nó có 6 mặt là những hình vuông. 1.2. Hai đường thẳng song song trong không gian Hai đường thẳng a và b được gọi là song song với nhau, kí hiệu a // b , nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. 1.3. Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. Sxq  a  b 2 h. 1.4. Khái niệm về đường thẳng song song với mặt phẳng và hai mặt phẳng song song AB không nằm trong mặt phẳng (EFGH), nhưng AB//EF (EF là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (EFGH)). Khi đó, ta nói AB song song với mặt phẳng (EFGH). Trên hình hộp chữ nhật bên cạnh, AB và AD cắt nhau, chúng cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Đồng thời, ta có AB//EF và AD//EH. Khi đó, ta nói mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (EFGH), kí hiệu: mp(ABCD) // mp(EFGH). Nhận xét: Ở hình hộp chữ nhật trên, ta có: mp(ABCD) // mp(EFGH); mp(ABFE) // mp(DCGH) mp(BCGF) // mp(ADHE).
Trang 2 Hai mặt phẳng có một điểm chung thì cắt nhau theo một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Ta gọi đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Chẳng hạn, hai mặt phẳng (ABCD) và (ABFE) có giao tuyến là đường thẳng AB. Nhận xét: Ở hình hộp chữ nhật trên, ta có: AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (ABFE); AD là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AEHD); v.v... 12 cạnh của hình hộp chữ nhật là 12 giao tuyến của 12 cặp mặt phẳng, em hãy liệt kê chúng. 1.5. Thể tích của hình hộp chữ nhật Giả sử ba kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c. Khi đó, ta có công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật: V  a.b.c. 1.6. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Khi đường thẳng AE của mặt phẳng (ABFE) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau EF và EH của mặt phẳng (EFGH), ta nói mặt phẳng (ABFE) vuông góc với mặt phẳng (EFGH), kí hiệu: mpABFE  mpEFGH Nhận xét: Ở hình hộp chữ nhật trên, ta có: mpABFE  mpEFGH; mpABCD  mpBCGF; mpBCGF  mpEFGH ... Em hãy liệt kê thêm và giải thích vì sao. § 2. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG 2.1. Khái niệm về hình lăng trụ đứng Các hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng. Hai mặt đáy của chúng là hai mặt phẳng song song với nhau và mỗi cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Các hình sau đây cũng là những hình lăng trụ đứng, hai mặt đáy của chúng có thể là các tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... bằng nhau (có thể chồng khít lên nhau). Các mặt bên là những hình chữ nhật. Các cạnh bên song song nhau và vuông góc với hai mặt đáy, độ dài mỗi cạnh bên bằng chiều cao của hình lăng trụ đứng. 2.2. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng
Trang 3 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là tổng diện tích của các mặt bên. Ta có công thức: Sxq  2p.h, trong đó, p là nửa chu vi đáy, h là chiều cao. Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. 2.3. Thể tích của hình lăng trụ đứng Gọi B là diện tích đáy, h là chiều cao, ta có thể tích của hình lăng trụ đứng là: V  B.h. § 3. HÌNH CHÓP ĐỀU, HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU 3.1. Hình chóp đều Hình chóp đều là hình có một mặt là một đa giác đều (ta gọi mặt này là mặt đáy), các mặt khác (các mặt bên) là những tam giác cân có đáy là cạnh của mặt đáy và có chung đỉnh (đỉnh này nằm ngoài mặt đáy). Nếu hình chóp có đáy là đa giác ABC..., đỉnh là S, ta thường kí hiệu hình chóp này là S.ABC... . Đường vuông góc hạ từ đỉnh xuống mặt đáy được gọi là đường cao của hình chóp (trên hình vẽ, đó là SH). Chân đường vuông góc (điểm H) là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy. Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp với trung điểm một cạnh đáy được gọi là trung đoạn của hình chóp. Như vậy, trung đoạn của hình chóp là chiều cao (kẻ từ đỉnh hình chóp) của mỗi mặt bên (trên hình vẽ, chẳng hạn, SM). 3.2. Hình chóp cụt đều Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp được gọi là hình chóp cụt đều. Trên hình bên, ta có hình chóp cụt đều MNPQ.ABCD Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân (chẳng hạn, QPCD). 3.3. Công thức tính diện tích xung quanh Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích số của nửa chu vi đáy với trung đoạn của hình chóp đều đó: Sxq  pd. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều bằng tích số của nửa tổng chu vi hai đáy với chiều cao của một mặt bên (tức chiều cao hình thang) của hình chóp cụt đều đó: Sxq  p  p' d.
Trang 4 Ở đây, 2p và 2p’ là chu vi hai đáy, d là chiều cao của một mặt bên hình thang. 3.4. Công thức tính thể tích Thể tích hình chóp đều bằng một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao: 1 V B.h. 3  Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.EFGH như hình vẽ. Khi đó, D.ACH là hình gì? Tìm tỉ số diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của D.ACH. Tính thể tích D.ACH theo cạnh của hình lập phương. Giải. AC, CH, AH bằng nhau vì là ba đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Như vậy, D.ACH là hình chóp đều có đỉnh D, đáy là tam giác đều ACH. Gọi a là cạnh hình lập phương, diện tích toàn phần của hình lập phương là . 2 6a Ta có , nên AC  CH  AH  a 2 diện tích tam giác đều ACH bằng   2 2 3 a 3 a 2 . 4 2  Mỗi mặt bên của hình chóp đều D.ACH là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a. Diện tích toàn phần của hình chóp đều D.ACH là: 2 2 a a 3 2 3 3 3. a . 2 2 2    Tỉ số diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của D.ACH là: 2 2 6a 12 . 3 3 3 3 a 2    Hạ đường cao DO của hình chóp đều D.ACH. Ta biết O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của mặt đáy ACH. Vì ACH là tam giác đều nên O cũng là trọng tâm. Từ đó,   2 3 a 6 AO . a 2 . . 3 2 3   Suy ra 2 2 2 2 2 6a a a 3 DO AD AO a . 9 3 3       Vậy thể tích D.ACH tính theo cạnh của hình lập phương là: 2 3 1 1 a 3 a 3 a V Bh . . 3 3 2 3 6    Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ABCD là hình vuông có cạnh bằng 20 cm, cạnh bên hình chóp bằng 24 cm.