Title Chuyên đề 10. VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN TRONG CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

Ta có 11 , 22AHAMAKAN , Do đó 22MNHKOE . Suy ra 2MNOO (Dấu “=” xảy ra khi EO hay khi d // OO ). Vậy max2MNOO khi d // OO . Gọi F là giao điểm của AB với OO . Ta có ABOO và 1 16 2FAABcm . Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông AFO và AFO’ ta tính được: 22222 341690030()OFOAAFOFcm ; 22222 201614412()OFOAAFOFcm . * Nếu điểm F nằm giữa O và O thì max22301284MNOOcm . * Nếu điểm F không nằm giữa O và O thì max22301236MNOOcm . Nhận xét: Khi đề bài có hai đường tròn cắt nhau, cần xét hai trường hợp của hình vẽ: - Trường hợp hai tâm nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa dây chung; - Trường hợp hai tâm thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa dây chung. Ví dụ 3. Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r (R > r). Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm A cố định và một điểm M di động. Qua A vẽ dây BC của đường tròn lớn vuông góc với AM. Chứng minh rằng: a) Tổng 222ABACAM không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b) Trọng tâm G của tam giác MBC là một điểm cố định. Giải a) Gọi D là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn nhỏ. Vẽ OHAD ta có: ,HAHDHBHC (đường kính vuông góc với dây). Xét MAD có OH là đường trung bình. Suy ra 2AMOH . Ta có: 2222ABACHBHAHCHA 22 22HAHB Xét HOB vuông tại H ta có: 2222 OHHBOBR . Xét HOA vuông tại H ta có: 2222 OHHAOAr Do đó 222222224ABACAMHAHBOH 222222HAOHHBOH 22 22rR (không đổi) b) MAD và MBC cùng có chung đường trung tuyến MH nên có cùng trọng tâm G. Xét MAD có 1 3OGOA , mà OA cố định nên G cố định. Vậy trọng tâm G của MBC là một điểm cố định. Ví dụ 4. Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A, tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB lần lượt tại D, E, và F. Gọi r là bán kính của đường tròn. S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Vẽ dây chung AB cắt OO tại H thì ABOO và HAHB . Xét AOO có 222OOOAOA (vì 222211710 ) nên góc OAO là góc tù. Do đó điểm H nằm giữa O và O’. Đặt OHx thì 21OHx . Xét các HOA và HOA vuông tại H ta có: 22222OAOHOAOHAH Suy ra 222217102115xxx . Do đó 2221715AH => 8AH và 16ABcm . Diện tích tứ giác OAOB là: 211..16.21168 22SABOOcm . Nhận xét: Việc vẽ dây chung AB giúp ta xác định được tứ giác OAOB có hai đường chéo vuông góc. Do đó diện tích của tứ giác này bằng nửa tích của hai đường chéo. Đã biết OO = 21cm nên chỉ cần tính AB. C. Bài tập vận dụng * Vẽ đường kính vuông góc với một dây 10.1. Cho đường tròn (O; R) và một dây AB bất kì. Từ B vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AHxy . Chứng minh rằng tỉ số 2 AB AH luôn không đổi. 10.2. Cho hai đường tròn ( O ) và ( O ) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO , gọi N là điểm đối xứng của A qua M. Vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn ( O ) và ( O ) lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng tam giác NCD là tam giác cân. 10.3. Cho đường tròn ( O ) và hai dây song song AB, CD cách nhau 6cm, tâm O nằm ở miền trong của hai dây này và AB = 10cm, CD = 14cm. Một dây MN song song với hai dây này và cách đều chúng. Tính độ dài của dây MN. 10.4. Cho đường tròn (O; 3cm) và một điểm M cách O là 5cm. Qua M vẽ đường thẳng d cắt đường tròn tại A và B phân biệt hoặc trùng nhau. Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tổng MA + MB. 10.5. Cho hai đường tròn ( O ) và ( O ) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng cắt đường tròn ( O ) và ( O ) lần lượt tại một điểm thứ hai là C và D sao cho A là trung điểm của CD. 10.6. Cho hai đường tròn đồng tâm O, bán kính lần lượt là R và r trong đó 1 3RrR . Hãy dựng dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C và D (C nằm giữa A và D) sao cho ACCDDB . * Vẽ bán kính đi qua tiếp điểm 10.7. Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy tiếp xúc với nhau tại A. Từ một điểm B trên đường tròn vẽ BHxy . Cho biết BH = 9cm, AH = 15cm. Tính bán kính của đường tròn. 10.8. Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A. Qua O vẽ đường thẳng d cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác AMN. 10.9. Cho tam giác ABC vuông tại A có tổng hai cạnh góc vuông là 34cm. Biết bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hơn bán kính r của đường tròn nội tiếp là 9cm. Tính R và r. 10.10. Hình bên vẽ đường tròn (O 2 ; x) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O 1 ; a) và (O 3 ; b) và tiếp xúc với hai cạnh của góc nhọn xOy a) Chứng minh rằng bốn điểm O, O 1 , O 2 , O 3 thẳng hàng. b) Tìm độ dài x. * Vẽ tiếp tuyến chung