Title 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ.pdf ✅

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Bài 1. ( Đề vào lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu) Cho các số thực dương ab, thảo mãn 3 a b   29 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 P a b   19. Lời giải Cách 1 : Ta có 3 3 a b a b      29 29 do đó   2 2 4 3 4 6 4 3 P a b b b b b b            19 29 19 58 822 Ta có 6 4 3 6 4 3 P b b b b b b          58 822 58 756 66     2 4 3 2        b b b b b 3 . 6 28 56 84 66 Do 4 3 2 b b b b b        6 28 56 84 0, 0 nên     2 4 3 2 P b b b b b         3 . 6 28 56 84 66 66 Dấu bằng xảy ra khi b  3 . Vậy min 66 P  khi 2 3 a b      . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho n số dương tổng quát ta có 2 a a  4 4 và   3 4 4 4 4 4 4 3 4 b b b b b      3 4. .3 12 suy ra 4 3 3 81 12 b b   hay 4 3 b b   27 4 Do đó 2 4 3 a b a b      31 4 4 116 hay 2 4 P a b     19 66 Dấu bằng xảy ra ở các BĐT trên là a  2 và b  3 . Vậy min 66 P  khi 2 3 a b      . Bài 2. ( Đề vào lớp 10 Bắc Giang) Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn điều kiện abc    3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A a bc b ac c ab       3 3 3 . Lời giải Với điều kiện abc    3 ta có 3 ( ) ( )( ) a bc a a b c bc a b a c         Áp dụng BĐT Cô-si ta có : 2 3 ( )( ) 2 2 a b a c a b c a bc a b a c            Tương tự ta có 2 3 2 a b c b ca     và 2 3 2 a b c c ab     Suy ra 4( ) 2( ) 6 2 abc A a b c       
Dấu bằng xảy ra khi 3 1 abc abc a b b c c a                . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 6 khi abc    1. Bài 3. ( Đề vào lớp 10 Bắc Ninh) Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện 2 2 x y x y z      8 8 64 0 . Chứng minh rằng 3 x y z xyz    . Lời giải Từ 2 2 x y x y z      8 8 64 0   2 2        x y z x y z 72 8 8 8 0   2 2       x y z x y z 72 8 hay 2 2 72 8 x y z x y z      Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:  2 2 x y xy   2  2 72 2 2 72 24 xy z xy z xyz     Do đó: 2 2 x y z xy z xyz      72 2 72 24 2 2 72 3 8 x y z xyz         x y z xyz 3 hay 3 x y z xyz    Dấu " "  xảy ra khi x y z    0 hoặc 72 17 144 289 x y z         Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 4. ( Đề vào lớp 10 Bến Tre) Cho các số thực ab, thỏa: 2 2 a b a b      14 12 85 0 . Tính giá trị của biểu thức B a b   3 2 . Lời giải 2 2 a b a b      14 12 85 0     2 2 2 2 14 49 12 36 0 7 6 0 a a b b a b             Vì   2 a   7 0 với  a ;   2 b   6 0 với  b 7 0 7 6 0 6 a a b b               
Do đó B a b       3 2 3.7 2. 6 9   Vậy B  9 Bài 5. ( Đề vào lớp 10 Bình Định) Cho các số thực dương abc , , thõa abc    2024. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 2024 2024 2024 abc P a a bc b b ca c c ab          Lời giải Cách 1: Ta có: 2 ( ( )( ) ) 2024 ( ) ( )( ) ( ( )( )) ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ( )( ) a a a a a b a c a a a bc a a b c a bc a a b a c a a b a c a b a c a a a b a c a a a b a c a a b a c a ab bc ac                                    Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a b  và a c  , ta có : 2 ( )( ) 2 2 a b a c a b c a b a c          Do đó: 2 ( ( )( ) ) 2 2024 2( ) abc a a a ab ac a a b a c a a a bc ab bc ac ab bc ac ab bc ac                         Tương tự: 2024 2( ) b bc ab b b ca ab bc ac       2024 2( ) c ac bc c c ab ab bc ac       Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2( ) P 1 2( ) ab bc ca ab bc ca       Dấu "=" xảy ra khi 2024 2024 3 abc abc abc             Vậy GTLN của P là 1 khi 2024 3 abc    Cách 2: Ta có 2024a 2              bc (a b c) a bc a ab ac bc (a b)(a c) Tương tự: 2024 ( )( ) b ca b c b a    
2024 ( )( ) c ab c a c b     Do đó a b c P a ( )( ) b ( )( ) c (a c)( ) a b a c a b a c b c             Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:     2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a a b c a ac ab         Suy ra ( )( ) a a a a a b a c a ac ab a b c          Tương tự ; ( )( ) ( )( ) b b c c b a b a c a b c c a c b c a b c             Do đó a b c P 1 a b c       Dấu "=" xảy ra 2024 2024 3 abc abc abc              . Bài 6. ( Đề vào lớp 10 Đà Nẵng) Cho các số thực dương abc , , thay đổi và thoả mãn điều kiện a b c    9 6 2023 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 P a ab b b bc c c ca a          3 63 243 243 378 108 108 42 3 . Lời giải Ta có:       2 2 2 2 2 13 1 13 3 63 243 9 9 9 4 4 4 a ab b a b a b a b             2 2 2 13 13 3 63 243 9 9 4 2        a ab b a b a b , dấu " "  xảy ra khi a b  9 Tương tự ta có:   2 2 13 243 378 108 9 6 2 b bc c b c     , dấu " "  xảy ra khi 9 6 b c  ;   2 2 13 108 42 3 6 2 c ca a c a     , dấu " "  xảy ra khi 6c a      13 9 9 6 6 13 9 6 2023 13 2            P a b b c c a a b c Vậy max 2023 13 P  khi 2023 2023 2023 , , 3 27 18 abc    Bài 7. ( Đề vào lớp 10 Hà Nam)