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An ́alise Matem ́atica. Curso 2022-2023. Grao en Enxener ́ıa Inform ́atica. ESEI Ourense. Departamento de Matem ́aticas. Universidade de Vigo. Data: 13/01/2023 EXAMEN FINAL APELIDOS NOME DNI NOTA NOTA 1: Realizar os c ́alculos con 6 cifras decimais redondeadas. Po ̃ner a calculadora en modo RADIANS. ́ NOTA 2: O alumnado asistente que xustificadamente non realizase algunha proba ́ parcial multiplicar ́aselles a nota das preguntas do bloque correspondente por 1.3. Indi- car proba: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Consid ́erese o conxunto A = {x ∈ R: |1 + x − x 2 | < 1} ∪ {x ∈ R: x ≥ 3}. a) Identificar o conxunto A e representalo gr ́aficamente. b) Indicar cal ́e o conxunto das cotas inferiores, m(A), o das cotas superiores, M(A), e o m ́ınimo, m ́aximo, ́ınfimo e supremo de A (se existen). Solucion: ́ a) Primeiro estudamos o conxunto {x ∈ R: |1 + x − x 2 | < 1} = {x ∈ R: |1 + x − x 2 | − 1 < 0}. Calculamos as soluci ́ons da ecuaci ́on y(x) = |1+x−x 2 |−1 = 0, que son as soluci ́ons das ecuaci ́ons 1 + x − x 2 = 1 ou 1 + x − x 2 = −1 ⇐⇒ x = 0, x = 1, x = −1 ou x = 2. Logo a funci ́on ten signo constante nos intervalos (−∞, −1), (−1, 0), (0, 1), (1, 2) e (2, +∞) e para determinar o seu signo basta obter o valor de y(x) nun punto x calqueira de cada intervalo: x = −2 =⇒ y(−2) > 0 =⇒ y(x) > 0 para todo x ∈ (−∞, −1), x = −0.5 =⇒ y(−0.5) < 0 =⇒ y(x) < 0 para todo x ∈ (−1, 0), x = 0.5 =⇒ y(0.5) > 0 =⇒ y(x) > 0 para todo x ∈ (0, 1), x = 1.5 =⇒ y(1.5) < 0 =⇒ y(x) < 0 para todo x ∈ (1, 2), x = 3 =⇒ y(3) > 0 =⇒ y(x) > 0 para todo x ∈ (2, +∞). Logo {x ∈ R: |1 + x − x 2 | < 1} = (−1, 0) ∪ (1, 2), e polo tanto A = (−1, 0) ∪ (1, 2) ∪ [3, +∞), sendo a s ́ua representaci ́on gr ́afica 1
−1 0 1 2 3 b) Como A non est ́a acotado superiormente tense que M(A) = ∅ e non existen m ́ax(A) nen sup(A). As cotas inferiores son m(A) = (−∞, −1] e polo tanto ́ınf(A) = m ́ax(m(A)) = −1 e non existe m ́ınimo porque A ∩ m(A) = ∅. 2. Estudiar o car ́acter (converxente ou diverxente) das seguintes series: a) X∞ n=1 n 3 3 n b) X∞ n=1 n 3 + 5 n3 + n n 2 Solucion: ́ a) Como an = n 3 3 n > 0 tr ́atase dunha serie de termos positivos. Usaremos o criterio do cociente: an+1 an = (n + 1)3 3 n+1 n 3 3 n = 3 n · (n + 1)3 3 n+1 · n3 = (n + 1)3 3 · n3 . Polo tanto, l ́ımn→∞ an+1 an = l ́ımn→∞ (n + 1)3 3 · n3 = l ́ımn→∞ 1 3 n + 1 n 3 = 1 3 = L < 1, e polo criterio do cociente ded ́ucese que a serie X∞ n=1 n 3 3 n ́e converxente. b) O l ́ımite do termo xeral ́e l ́ımn→∞ an = l ́ımn→∞ n 3 + 5 n3 + n n 2 “1∞” = e l ́ımn→∞ n 3 + 5 n3 + n − 1 n 2 = = e l ́ımn→∞ −n 3 + 5n 2 n3 + n = e−1 6= 0, e polo tanto ́o non cumprirse a condici ́on necesaria de converxencia a serie X∞ n=1 n 3 + 5 n3 + n n 2 de termos positivos ́e diverxente. 3. Dada a funci ́on f : [0, 3] → R definida como f(x) = ln (x 2 − x + 1)e−x : a) Determinar os seus intervalos de crecemento e decrecemento. b) Determinar os seus extremos relativos e absolutos en [0, 3]. 2

4. Calcular a ́area encerrada entre a funci ́on f(x) = ex cos(x), o eixo OX e as rectas verticais x = 0 e x = π. Solucion: ́ A ́area que nos piden ven dada pola integral Z π 0 |e x cos(x)| dx. Figura 2: Gr ́afica de f(x) = ex cos(x) en [0, π]. Para calcular esta integral primeiro obtemos os puntos de corte de f(x) co eixo OX en [0, π]: f(x) = 0 ⇐⇒ cos(x) = 0 ⇐⇒ x = π 2 + k π, k ∈ Z. Os puntos de corte no intervalo de integraci ́on ́e x = π/2 e f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [0, π/2] e f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [π/2, π]. Por tanto Z π 0 |e x cos(x)| dx = Z π/2 0 |e x cos(x)| dx + Z π π/2 |e x cos(x)| dx = = Z π/2 0 e x cos(x) dx − Z π π/2 e x cos(x) dx = = e x (sen(x) + cos(x)) 2 π/2 0 + e x (sen(x) + cos(x)) 2 π π/2 = = e π 2 + eπ/2 − 1 2 = 15.880824 u 2 , onde para calcular a primitiva de f(x) integramos por partes u = ex =⇒ du = ex dx dv = cos(x)dx =⇒ v = sen(x) Z e x cos(x)dx = ex sen(x) − Z e x sen(x)dx. Aplicando de novo integraci ́on por partes u = ex =⇒ du = ex dx dv = sen(x)dx =⇒ v = − cos(x) obtense Z e x sen(x)dx = ex cos(x)−(−e x cos(x)− Z e x (− cos(x))dx = ex cos(x)+ex cos(x)− Z e x cos(x)dx. 4