Title Chương I - Bất đẳng thức và các kỹ thuật giải cơ bản - Phần 2.doc ✅

A. GIỚI THIỆU Phương pháp này khá cơ bản và thường được sử dụng trong các bài toán tìm cực trị với các bất đẳng thức có dạng: ()afxb££ với xDÎ . Nguyên tắc chung là đưa về tìm điều kiện để phương trình ()mfx= có nghiệm trên D. Trong trường hợp có nhiều biến ta cần đưa về phương trình với một biến hoặc đưa về hệ phương trình nếu có. B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1) Tìm miền giá trị bằng cách xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai Một phương trình bậc hai có dạng: 20AxBxC++= với 0A¹ . Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 240BACD=-³ . Vì vậy cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức (,,)mfxyz= . Ta biến đổi tương đương m để đưa về một phương trình bậc của x hoặc y hoặc của z. Khi đó sử dụng điều kiện có nghiệm ta tìm được Max và Min của m. Ví dụ 1. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện 222 3 5 xyz xyz ì-+=ï ï í ï++= ïî . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 2 xy P z +- = + . Lời giải Trong biểu thức của P có z khác so với x và y do vậy ta tìm cách rút xy+ theo z và đưa về phương trình bậc hai đối với z. Việc tìm Max và Min của P ta chặn bằng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai đối với z. Ta có ()()()222222zPxyzPxyéù+=+-Þ++=+ ëû . Chú ý ()()()2222 2222 3 3 36111 55 22 xyz xyz xyzz xyxyzxyz ì-=-ï ìï-=-ï ïï ÛÞ+=-++íí ïï++-=-+=- ïïî ïî . Vì vậy () ()() ()() 2 2 2 22 2222 22361 2423630 34464830 (1) zPzz zPzPzz PzPPzPP éù++=-++ ëû Û++++-+= Û+++-+++= . Ta có (1) là phương trình bậc hai đối với z điều kiện có nghiệm là ()()()2222 2 '22334830 36 233600 23 PPPPP PPP D=+--+++³ Û+£Û-££ . + Với 2,0,1xyz=== ta có P bằng 0 vậy giá trị lớn nhất của P bằng 0. + Với 20667 ,, 313131xyz==-= thì P bằng -36/23 vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 36 23- . Bài tập tương tự Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện 222 3 5 xyz xyz ì-+=ï ï í ï++= ïî . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1 2 xy P z +- = + .
Đáp số: 323323 33P-+ ££ . 2) Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác Phương trình dạng: sincosAxBxC+= có nghiệm khi và chỉ khi 222ABC+³ . Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có 2cos2sin3 2 112cossin4 xx xx ++ ££ -+ . Lời giải Đặt ()cos2sin3 2cossin4cos2sin3 2cossin4 xx yyxxxx xx ++ =Þ-+=++ -+ . ()()21cos2sin34 (1)yxyxyÛ--+=- . Điều kiện để (1) có nghiệm là ()()()222 2 21234 2 1124402 11 yyy yyy -++³- Û-+£Û££ . Bài toán được chứng minh. 3) Kỹ thuật điều kiện có nghiệm của phương trình - hệ phương trình Thay vì tìm trực tiếp Max và Min của biểu thức ta đưa về tìm điều kiện có nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ 1. Cho x,y là hai số thực thoả mãn điều kiện ()2222222140xyxyxy-++--= . Chứng minh rằng 223535 22xy-+ £+£ . Lời giải Đặt 22mxy=+ . Ta cần tìm Max và Min của m. Thay vì đi chứng minh trực tiếp ta tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm () 22 2 222222 140 mxy xyxyxy ìï=+ ï ï í ï -++--=ï ïî ()() 22 442222 22 2 22222 2 2 22 222 2 3210 3410 31 4 31401 4 mxy xyxyxy mxy xyxyx mm x mxy mmxmm y ìï=+ ï Ûí ï++-++= ïî ìï=+ ï ï Ûí ï +-+++=ï ïî ìï-+ ï =-ï ìï=+ï ïï ÛÛíí ïï-++=++ ïïî ï= ï ïî . Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm là 2 2 31 0 35354 221 0 4 mm m mm ìï-+ ï -³ï ï-+ ï Û££í ï++ ï ï³ ï ïî . Vì vậy 223535 22xy-+ £+£ . Bài tập tương tự Cho x,y là các số thực thoả mãn điều kiện 2222,1;41816xyxyxyxy³--=- .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 5 xy P xxyyxy + = ++++++ . Đáp số: ()()minmax16174;64376PP=-=- . Ví dụ 2. Cho x,y là các số thực thay đổi thoả mãn điều kiện 22121xyxy+-=+++ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ()2Pxy=- . Lời giải Đặt () 2 2 1 21 2 ,,0 121 2 u x ux uv vvy y ìï- ï =ïì ï=+ï ïïï ³Þíí ïï- =+ïï ïîï= ï ïî . Điều kiện bài toán trở thành () 22 222 262 2 uv uvuvuv+- -=+Û+-=+ ()()22260uvuvuvÛ+-+--= . Khi đó () ()()()()() 2 222 22 22 22 11 224 4 44 uvuv P uvuvuv uvuv -æö-- ÷ç ÷=-=ç ÷ç ÷çèø +-+ -+ == . Vậy ta có hệ phương trình ()() ()()() 2 22 2260 (1) 4 (2) 4 uvuvuv uvuvuv P ìï +-+--=ï ï ïï í+-+ ï ï =ï ï ïî . Từ (1) ta có ()()()221 226 2uvuvuvuv=+-+-£+ ()()2412026uvuvuvÞ+-+-£Û-£+£ . Chú ý ()()()()2222121226uvxyxyxy+=+++++³++³ . Vì vậy ta có 6;6tuvéù =+Î êúëû . Khi đó ()()()()()() ()()()()() 222 22 22 226 4 412412 44 uvuvuvuv P uvuvuvttt +-+-+-+ = -+++++-++ == . Xét hàm số ()22412 () 4 ttt ft-++ = liên tục trên đoạn 6;6éù êúëû ta có ()6;62333'()36;'()0 2 t fttttfttéùÎêúëû+ =-++=¬¾¾¾®= . Ta có ()3691133333 (6)966;;(6)0 28fff +æö +÷ç ÷ç=+== ÷ç ÷÷ç èø . Vì vậy () maxmax 3691133 333 28Pff +æö +÷ç ÷ç=== ÷ç ÷÷ç èø .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 333733 22 333333 22121 22 142334146633142334146633 , 88 142334146633142334146633 , 88 uvxy xyxy xy xy ììïï ++ ïï +=+=ïï ïï ïï Ûíí ïï ++ïï ïï+-=+++= ïï ïïîî é +-++++ê ==ê ê Û ê ê++++-+ ê== ê ë . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ()3691133 8 + . Ví dụ 3. (TSĐH Khối A 2006) Cho x,y là 2 số thực và 0,0xy¹¹ thỏa mãn điều kiện 22 ()xyxyxyxy+=+- . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 33 11 A xy=+ . Lời giải Nhận thấy x, y đối xứng nên đặt : . xyu xyv ì+=ï ï í ï= ïî . Giả thiết bài toán trở thành: 2 2 .3 3 u uvuvv u=-Û= + (do 3u¹- ) Ta có () 2 3322 33332 11(3)3xyuuvuu uxyvvxy æö+-+ ÷ç +====÷ç ÷ç èø Vì 2 221441 410 3333 uuu uvu uuuu é³- ê³Þ³Û£Û³Û ê£-+++ ë . Chú ý để tìm Max của A ta chỉ cần xét với 3 0u u + > nên ta chỉ cần chứng minh Max của A bằng 16 vậy : 3 4u u + £ với 1u³ hoặc 3u£- . Xét hàm số f(u) = 3u u + Þ f’(u) = 2 3 0 u - < suy ra f(u) Trên mỗi khoảng ( ;3-¥- ) và [1;)+¥ do đó f(u) £ f(1); 1u"³ . Còn 0 < f(-3) < f(u) <1, " u > -3. Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 16. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có 12sincos1 2 2sin2cos3 xx xx ++ -££ -+ . Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số thực x và y ta có 222 32231cos3sin31 cos329 yyxyx x æö+++++ ÷ç £÷ç ÷ç èø+ . Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y thoả mãn điều kiện ()22222 225 3. 422 xyxy xy++ -+=- . Chứng minh rằng 225555 22xy-+ £+£ .