Title E1.2 - Final (S).pdf ✅

An ́alise Matem ́atica. Curso 2020-2021. Grao en Enxener ́ıa Inform ́atica. ESEI Ourense. Departamento de Matem ́aticas. Universidade de Vigo. Data: 02/07/2021 EXAMEN FINAL APELIDOS NOME DNI NOTA NOTA 1: Realizar os c ́alculos con 6 cifras decimais redondeadas. Po ̃ner a calculadora en modo RADIANS. ́ 1. Probar por inducci ́on que 1 2 + 2 22 + 3 23 + ... + n 2n = 2 n + 2 2n , para todo n 2 N. Solucion: ́ A igualdade anterior pode escribirse da forma (Pn) ⌘ Xn k=1 k 2k = 2 n + 2 2n . i) Paso base (n = 1): comprobamos que (P1) ́e certa X 1 k=1 k 2k = 1 2 = 2 3 2 . p ii) Paso de inducci ́on (Pn =) Pn+1): supo ̃nemos agora que a igualdade (Pn) ́e certa, ́e dicir, supo ̃nemos que Xn k=1 k 2k = 2 n + 2 2n (Hip ́otese de Inducci ́on), e queremos probar que (Pn+1) tam ́en ́e certa, ́e dicir, ¿Pn+1 k=1 k 2k = 2 n + 2 2n ? En efecto, n+1 X k=1 k 2k = X n k=1 k 2k + n + 1 2n+1 HI = 2 n + 2 2n + n + 1 2n+1 =2+ 2(n + 2) + (n + 1) 2n+1 = 2 n + 3 2n+1 . p O principio de inducci ́on aseg ́uranos ent ́on que a igualdade (Pn) ́e certa para todo n 2 N. 1
2. Xustificar se as seguintes series son converxentes ou diverxentes. En caso de ser converxente calcular a s ́ua suma: a) X1 n=1 2n 5n+2 b) X1 n=1 nn (n + 1)! Solucion: ́ a) A serie pode escribirse como X1 n=1 2n 5n+2 = X1 n=1 1 52 · 2n 5n = 1 25 X1 n=1 ✓2 5 ◆n . Ent ́on tr ́atase dunha serie xeom ́etrica de raz ́on r = 2 5 e polo tanto ́e converxente xa que |r| < 1. Ademais: X1 n=1 ✓2 5 ◆n = 2/5 1 2/5 = 2 3 . Por tanto, X1 n=1 2n 5n+2 = 1 25 · X1 n=1 ✓2 5 ◆n = 1 25 · 2 3 = 2 75. b) Como ́e unha serie de termos positivos an = nn (n + 1)! > 0 podemos intentar aplicar o criterio do cociente l ́ımn!1 an+1 an = l ́ımn!1 (n+1)n+1 (n+2)! nn (n + 1)! = l ́ımn!1 (n + 1)n+1 · (n + 1)! (n + 2)! · nn = = l ́ımn!1 (n + 1)n+1 · (n + 1)! (n + 2) · (n + 1)! · nn = l ́ımn!1 (n + 1) · (n + 1)n (n + 2) · nn = l ́ımn!1 n + 1 n + 2 · l ́ımn!1 ✓n + 1 n ◆n = l ́ımn!1 n + 1 n + 2 · l ́ımn!1 ✓ 1 + 1 n ◆n = 1 · e = L > 1, e polo tanto a serie X1 n=1 nn (n + 1)! ́e diverxente. 3. Consid ́erese a funci ́on f : R ! R definida como f(x)=2x3e x. a) Clasificar os extremos relativos de f(x). b) A funci ́on f(x) ten as ́ıntota horizontal en +1? Xustificar a resposta. Solucion: ́ a) Como f ́e derivable en todo R os candidatos a extremos relativos son as soluci ́ons da ecuaci ́on f0 (x)=0 () 6x2e x 2x3e x = 0 () 2x2e x(3 x)=0 () x =0o x = 3. 2
Para analizar a existenza de extremos estudiamos o signo da derivada, que pro- porciona informaci ́on sobre os intervalos de crecemento e decrecemento: f0 ( 1) > 0 =) f ́e creciente en ( 1, 0), f0 (1) > 0 =) f ́e creciente en (0, 3), f0 (4) < 0 =) f ́e ́e decrecente en (3, +1), Polo tanto f alcanza un m ́aximo relativo e absoluto en x = 3 (en x = 0 non se alcanza ning ́un extremo). b) Para determinar se hai unha as ́ıntota horizontal en +1 temos que calcular l ́ım x!+1 f(x) = l ́ım x!+1 2x3e x = l ́ım x!+1 2x3 ex . Tr ́atase dunha indeterminaci ́on do tipo [1/1]. Para resolvela aplicamos a regra de L’Hˆopital ata que a indeterminaci ́on desaparece: l ́ım x!+1 2x3 ex = l ́ım x!+1 6x2 ex = l ́ım x!+1 12x ex = l ́ım x!+1 12 ex = 0. Como o l ́ımite ́e finito significa que a recta horizontal y=0 ́e As ́ıntota Horizontal. 4. Calcular a ́area encerrada entre a funci ́on f(x) = x + 1 x2 + 1, o eixo OX e as rectas verticais x = 4 e x = 0. Solucion: ́ A ́area pedida ven dada pola integral Z 0 4 x + 1 x2 + 1 dx. Calculamos primeiro unha primitiva de f(x), Z x + 1 x2 + 1 dx = Z x x2 + 1 dx + Z 1 x2 + 1 dx = 1 2 Z 2x x2 + 1 dx + Z 1 x2 + 1 dx = 1 2 ln(x2 + 1) + arc tg(x) + c. Agora calculamos os puntos de corte de f(x) co eixo OX f(x)=0 () x +1=0 () x = 1, y a continuaci ́on estudiamos o signo de f(x) no intervalo [ 4, 0]: f( 2) =< 0 =) f(x) < 0 para todo x 2 [ 4, 1), f( 1/2) > 0 =) f(x) > 0 para todo x 2 ( 1, 0]. Logo Z 0 4 x + 1 x2 + 1 dx = Z 1 4 x + 1 x2 + 1 dx + Z 0 1 x + 1 x2 + 1 dx = 3
-4 -3 -2 -1 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figura 1: Area que debemos calcular. ́ = ✓1 2 ln(x2 + 1) + arc tg(x) ◆ 1 4 + ✓1 2 ln(x2 + 1) + arc tg(x) ◆ 0 1 = ⇡ 2 + ln(17) 2 arc tg(4) ln(2) ⇡ 0.968438 u2 5. Probar que a ecuaci ́on e x = x2 ten unha ́unica soluci ́on no intervalo [0, 1]. Aproximar a soluci ́on cun erro menor ou igual a 0.05 usando o m ́etodo de bisecci ́on. Solucion: ́ Definimos f(x)=e x x2 que ́e unha funci ́on derivable para x 2 [0, 1]. i) (Existenza) f(0) = 1 > 0, f(1) = e 1 1 < 0 T. Bolzano =) a ecuaci ́on f(x) = 0 ten polo menos unha soluci ́on no intervalo [0, 1]. ii) (Unicidade) f0 (x) = e x 2x < 0 para x 0 porque e x < 0 para x 2 R =) f0 (x) 6= 0 para x 2 [0, 1] T. Rolle =) a ecuaci ́on f(x) = 0 ten como moito unha soluci ́on no intervalo [0, 1]. i) + ii) =) A ecuaci ́on f(x) = 0 ten exactamente unha soluci ́on no intervalo [0, 1]. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.5 0.5 1.0 Gr ́afica da funci ́on f(x)=e x x2 no intervalo [0, 1]. Aproximamos agora a soluci ́on usando o m ́etodo de bisecci ́on: 0 BBBBBB@ n an bn xn f(an) f(bn) f(xn) Erro 6 0 0. 1. 0.5 1. 0.632121 0.356531 0.5 1 0.5 1. 0.75 0.356531 0.632121 0.0901334 0.25 2 0.5 0.75 0.625 0.356531 0.0901334 0.144636 0.125 3 0.625 0.75 0.6875 0.144636 0.0901334 0.0301753 0.0625 4 0.6875 0.75 0.71875 0.0301753 0.0901334 0.0292405 0.03125 1 CCCCCCA 4