Title 3 Đường trung bình của tam giác.pdf ✅

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/15 A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa ▪ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. laø trung ñieåm cuûa laø ñöôøng trung bình cuûa laø trung ñieåm cuûa M AB MN ABC N AC üï ý Þ D ï þ . ▪ Mỗi tam giác có ba đường trung bình. 2. Tính chất ▪ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy. Theo hình bên, MN là đường trung bình của 1 . 2 MN BC ABC MN BC ìï D Û í ï = î  3. Định lý đường trung bình của tam giác ▪ Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba của tam giác đó. ( ) ( ) ABC MA MB M AB NA NC MN BC N AC D üï = Î ý Û = ï Î þ  . Hình học ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC phẳng M N P B C A M N B C A MN BC M N B C A
PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/15 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng ▪ Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng. Ví dụ 1. Tìm độ dài x trong các hình sau a) b) Lời giải a) Xét tam giác ABC, ta có ▪ M là trung điểm của AB; ▪ N là trung điểm của AC. Þ MN là đường trung bình của DABC . ( ) 1 7 2 Þ MN = BC Þ x = cm . b) Xét tam giác ABC, ta có ▪ M là trung điểm của AB; ▪ N là trung điểm của AC. Þ MN là đường trung bình của DABC . ( ) 1 7,5 2 Þ MN = BC Þ x = cm . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 5 , BC = 13 . Qua trung điểm M của AB , vẽ một đường thẳng song song với AC cắt BC tại N . Tính độ dài MN . Lời giải Xét ABC có MA = MB và MN  AC nên NB = NC . Do đó, MN là đường trung bình. Suy ra 1 2 MN = AC . Vì ABC vuông tại A nên 2 2 2 2 2 AC = BC - AB = 13 - 5 = 144 Þ AC = 12 . Vậy MN = 12 : 2 = 6. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; hai đường thẳng song song. ▪ Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác. x M 3,5cm N B C A x 15cm N B M C A
PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/15 ▪ Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai đoạn thẳng bằng nhau như đã học ở lớp 7. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD , CE . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của BE và CD . Gọi I , K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE . Chứng minh MI = IK = KN . Lời giải Xét BED có MI ED ID IB ME BM ìï í Þ = ï = î  . Xét CED có NK ED KE KC NC ND ìï í Þ = ï = î  . Suy ra 1 2 MI = ED ; 1 2 NK = ED ; 1 2 ED = BC . 1 1 1 1 2 2 2 2 IK = MK - MI = BC - DE = DE - DE = DE . Vậy MI = IK = KN . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC , điểm D , E thuộc AC sao cho AD = DE = EC . Gọi M là trung điểm của BC , I là giao điểm của BD và AM . Chứng minh : a) ME  BD; b) AI = IM . Lời giải a) Xét CBD có EC ED ME BD MC MB ìï = í Þ ï = î  . b) Xét AEM có ID ME IA IM AD DE ìï í Þ = ï = î  . Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD , CE cắt nhau tại G . Gọi M , N lần lượt là trung điểm BG , CG . Chứng minh tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Lời giải
PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/15 Xét ABC có 1 (1). 2 ED BC ED BC ìï í ï = î  Xét GBC có 1 (2). 2 MN BC MN BC ìï í ï = î  Từ (1) và (2) ED MN ED MN ìï Þ í ï = î  . Xét BAG có 1 (3). 2 EM AG EM AG ìï í ï = î  Xét CAG có 1 (4). 2 DN AG DN AG ìï í ï = î  Từ (3) và (4) EM DN EM DN ìï Þ í ï = î  . Vậy tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Ví dụ 6. Cho BD là đường trung tuyến của tam giác ABC , E là trung điểm của đoạn thẳng AD , F là trung điểm đoạn thẳng DC , M là trung điểm cạnh AB , N là trung điểm cạnh BC . Chứng minh ME  NF và ME = NF . Lời giải Xét ABD có 1 (1) 2 M ME BD A MB EA ED ME BD ìï ìï = í Þ í ï = ï = î î  . Xét CBD có 1 (2) 2 NF BD NB NC FC FD NF BD ìï ìï = í Þ í ï = ï = î î  . Từ (1) và (2) . ME NF ME NF ìï Þ í ï = î  Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh tứ giác hình thoi; hình bình hành; hình chữ nhật; hình vuông. ▪ Vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý đường trung bình của tam giác để chứng minh bài toán liên quan. Ví dụ 5. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.