Title MỤC 6. CUNG CHỨA GÓC.pdf ✅

Chương Mục 6. CUNG CHỨA GÓC Các kiến thức cơ bản bắt buộc phải nhớ 1. Bài toán quỹ tích cung chứa góc a)Theo đoạn thẳng AB và góc ( ). Tìm  0  180 quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn . AMB  Những điểm M thỏa mãn điều kiện trên là hai cung chứa góc  đối xứng nhau qua đoạn thẳng AB. Chú ý: * Hai cung chứa góc là hai cung tròn  đối xứng qua AB. * Hai điểm A và B được coi là thuộc quỹ tích. b) Cách vẽ cung chứa góc  - Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB. - Vẽ tia Ax tạo AB một góc .  - Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax tại A. Ay cắt trung trực của AB tại O, O là tâm của cung chứa  . 2. Cách giải bài toán quỹ tích Muốn giải bài toán quỹ tích ta phải giải qua hai phần: Phần thuận và phần đảo. * Phần thuận: Mọi điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài thuộc hình H. * Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều thỏa mãn điều kiện đề bài. * Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm thỏa mãn điều kiện đề bài là hình H. BÀI TẬP Bài 144: (44 /86 /SGK T2) Cho vuông ABC ở A. Có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi. Giải ABC vuông tại A (giả thiết) nên (Theo ABC ACB  90 định lí: Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau) Mà (vì BI là phân giác  của )  1 2 ABC B  ABC  (vì CI là tia phân giác của )  1 2 ACB C  ACB     1 1 90 45 2 2 ABC ACB B C        BIC có (Theo IBC  BIC  ICB 180 định lí: Tổng ba góc trong của một tam giác bằng ) 180
 BIC 180  IBC  ICB 180  45 135 Theo giả thiết cạnh BC cố định nên I nằm trên cung chứa góc 135 dựng trên đoạn BC cố định. Bài 145: (45 /86 /SGK T2) Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo trong các hình thoi đó. Giải ABCD là hình thoi (giả thiết) nên (hình thoi có hai AC  BD đường chéo vuông góc với nhau) . AOB  90 Theo giả thiết AB cố định và không AOB  90 đổi luôn luôn  O nhìn AB cố định dưới góc AOB bằng không 90 đổi  I nằm trên đường tròn đường kính AB cố định. Do O chỉ chuyển động phía trong hình thoi nên I chỉ nằm trên nửa đường tròn đường kính AB. Bài 146: (46/86/SGK T2) Dựng một cung chứa góc trên 55 đoạn thẳng . AB  3cm Giải - Dựng đoạn thẳng AB có độ dài 3cm - Dựng tia Ax tạo với AB một góc có số đo là . 55 - Dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB. - Đường thẳng m cắt Ay tại O. - Dựng cung tròn AnB có tâm là O bán kính là OA Cung tròn AnB chứa góc 55 dựng trên đoạn AB có độ dài 3cm là cung phải dựng. Bài 147: (47/86/SGK T2) Gọi cung chứa góc 55 ở bài 146(46/86/SGK) là cung . AnB AnB Lấy điểm M1 nằm bên trong và điểm nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho , và nằm cùng phía đối với M2 M1 M2 AnB đường thẳng AB. a) Chứng minh . 1 AM B  55 b) Chứng minh . 2 AM B  55 Giải a) Trường hợp điểm nằm trong (O) M1 Gọi giao điểm của và (O) là C. AM1 có có góc ngoài đỉnh nên: AM1B BM1C M1
BM1A  M1CB  M1BC (Theo định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong khoảng kề với nó). Mà  (vì C nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn AB) nên hay 1 M CB  55 55 1 1 AM B  55  M BC  . 1 AM B  55 b) Trường hợp nằm ngoài đường tròn (O) M2 Gọi giao điểm của và (O) là D. BM2 có là góc ngoài đỉnh D nên: ADM2 ADB    (Theo định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không ADB  AM2D  OAM2 kề với nó). Mà (vì D AOB  55 nằm trên cung chứa góc 55 dựng trên đoạn AB) 2 2  55  AM B  DAM Hay 2 55  M Bài 148: (48/87/SGKT2) Có hai điểm A và B cố định, từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm. Giải Ta có AI là tiếp tuyến của đường tròn (B) nên IA  BI  AIB vuông tại I ( ) AIB  90 AB cố định (Do hai điểm A và B cố định)  Quỹ tích những điểm I là đường tròn đường kính AB không đổi. Bài 149: (49/87/SGKT2) Dựng , ABC biết ; và BC  6cm BAC  40 đường cao . AH  4cm Giải Làm thế nào để dựng được có ABC cạnh , góc BC  6cm BAC  40 và đường cao ? AH  4cm Qua đề bài ta thấy có ABC đỉnh A nằm trên cung 40 dựng trên đoạn BC có độ dài 6cm. A nằm trên cung chứa góc 40 dựng trên đoạn BC  6cm , nhưng A phải thỏa mãn yêu cầu thứ hai là: A cách BC một khoảng bằng là giao 4cm  A điểm của đường thẳng mn song song với BC và đường tròn (O). Từ đó suy ra cách dựng: - Dựng đoạn thẳng BC  6cm - Dựng tia Bx hợp với BC góc 40 - Dựng đường trung trực của đoạn BC - Dựng tia , trung By  Bx By  trực của BC tại O
- Dựng đường tròn (O; OB) - Dựng đường thẳng và cách BC mn / /BC một khoảng 4cm. - mn cắt (O; OB) tại A và D. là tam giác ABC phải dựng. Bài 150: (50/87/SGKT2) Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho . MI  2MB a) Chứng minh không AIB đổi. b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên. Giải Đường tròn (O) đường kính AB cố định GT M O MI  2MB * không AIB đổi. KL * Tìm tập hợp các điểm I Chứng minh a) Sử dụng kiến thức cơ bản vào để chứng minh có AIK số đo không đổi khi M di động trên đường tròn (O) Theo đề bài thì MI luôn luôn lớn hơn MB hai lần  tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề là . 1 2 MB MI  AMB  90 (Theo hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông) .  BMI  90 BMI vuông ở M nên:   . Do MB và MI có tỷ số không đổi nên số đo của cũng có số đo 1 26 34 2 MB tg AIB AIB MI       AIB không đổi. b) Vì AB cố định, không AIB đổi bằng nên luôn luôn nhìn AB 2634 cố định dưới góc không đổi bằng thì I 2634 nằm trên cung chứa góc 2634 dựng trên đoạn AB cố định. Bài 151: (51/87/SGKT2) Cho I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC với . BAC  60 Gọi H là giao điểm các đường cao và . BB CC Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn. Giải (O) ngoại tiếp ABC GT (I) nội tiếp ABC ABC có BAC  60