Title Bài 7_Cấp số nhân_KNTT_Đề không dòng chấm.pdf ✅

BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA - Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q . Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. - Cấp số nhân un  với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi  1  n n u u q với n  2 . Chú ý. Để chứng minh dãy số un  gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số 1 n nu u không đồi. 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu 1 u và công bội q thì số hạng tổng quát n u của nó được xác định bởi công thức   1 1 , n 2     n n u u q 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN Cho cấp số nhân un  với công bội q 1. Đặt n  1  2  n S u u u . Khi đó 1 1  . 1    n n u q S q B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng mình một dãy số là cấp số nhân 1. Phương pháp  Xác định một cấp số nhân là xác định số hạng đầu u1 và công bội q  Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và q rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho dãy số ( ) n u xác định bởi ( ) 1 1 2 4 9, 1 n n u u u n + ìï = í ï = + 3 î . a) Chứng minh dãy số ( ) nv với 3 n n v = u + , n 31 là một cấp số nhân. b) Tìm công thức tổng quát của dãy số ( ) n u . Ví dụ 2: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó: a). 2 1 ( 3) n n u    b). 3 2 ( 1) .5 n n n u    c). 1 2 1 2 n n u u u       d). 1 1 3 9 n n u u u         Ví dụ 3: Cho dãy số un  được xác định bởi 1 1 2 , 1 4 9 n n u n u u          . Chứng minh rằng dãy số vn  xác định bởi 3, 1 n n v  u  n  là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Ví dụ 4: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và 4 x  y 3. Tìm x, y. Dạng 2. Xác định các số hạng của cấp số nhân, tổng của cấp số nhân 1. Phương pháp Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu 1 u , giải hệ phương trình này tìm được q và 1 u . Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: 1 1 . k k u u q   . Để tính tổng của n số hạng, ta sử dụng công thức: 1 1 . , 1 1 n n q S u q q     . Nếu q 1 thì 1 2 3 ... n u  u  u   u , do đó n 1 S  nu . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: a) 1 5 2 6 51 102 u u u u        b) 1 2 3 4 5 6 135 40 u u u u u u          c) 2 3 6 43. u S      Ví dụ 2: Cho CSN un  có các số hạng thỏa: 1 5 2 6 51 102 u u u u        a). Tìm số hạng đầu và công bội của CSN. b). Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069? c). Số 12288 là số hạng thứ mấy? Ví dụ 3: Cho cấp số nhânun  . Tìm 1 u và q, biết rằng: 1)   2 3 4 1 5 35 2 25 0 1,...,5 i u u u u u u i            2) 1 3 5 1 7 65 325. u u u u u         3) 2 4 6 3 5 42 20 u u u u u          4) 1 6 3 4 u  u 165;u  u  60. 5). 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 15 85. u u u u u u u u            6) 1 2 3 4 5 6 13 351 u u u u u u          7) 2 5 3 3 1 3 8 5 5 0 189 u u u u        8) 1 2 3 1 2 3 1728 63 u u u u u u        9). 1 3 2 2 1 3 3 5 u u u u        10). 1 2 3 2 2 2 1 2 3 7 21 u u u u u u          Ví dụ 3: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: a) 4 2 5 3 72 144 u u u u        b) 1 3 5 1 7 65 325 u u u u u         c) 3 5 2 6 90 240 u u u u       
d) 1 2 3 1 2 3 14 . . 64 u u u u u u        e) 1 2 3 1 2 3 21 1 1 1 7 12 u u u u u u            f) 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 30 340 u u u u u u u u            Ví dụ 4: Tìm a, b biết rằng: 1, a, b là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và 2 2 1,a ,b là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Ví dụ 5: Tìm số hạng đầu của CSN biết công bội bằng 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486. Ví dụ 6: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21.Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó. Ví dụ 7: Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó. Ví dụ 8: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Ví dụ 9: Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889. Ví dụ 10: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. Ví dụ 11: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2 , ab + 5, (a + 1)2 lập thành một cấp số nhân. Ví dụ 12: Tính các tổng sau: a). 2 3 2 2 2 2 n n S      b). 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 n n S      c). 2 2 2 1 1 1 3 9 3 3 9 3 n n n S                          d). so 6 6 66 666 666...6 n n S       Dạng 3. Các bài toán thực tế Câu 1. Với hình vuông như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau: Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông . A1B1C1D1 A1B1C1D1
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông thành phần bằng nhau như hình vẽ. Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông thành phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm . Câu 2. Cho hình vuông có cạnh bằng . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (Hình vẽ). Từ hình vuông lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông , , ,., . Gọi là diện tích của hình vuông . Đặt . Biết , tính ? C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 2.15. Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau: a) 1,4,16,; b) 1 1 2, , , 2 8   Bài 2.16. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số un  sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng 1 1 n n u u q    . a) 5 n u  n; b) 5 n n u  ; c) 1 1 1, n n u u nu    ; d) 1 1 1, 5 n n u u u    . Bài 2.17. Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12 . Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này. Bài 2.18. Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2 . Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này đề có tổng bằng 5115 ? Vậy số các số hạng cần lấy tổng là 10 Bài 2.19. Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng. Bài 2.20. Vào năm 2020 , dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% . Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030. A2B2C2D2 A1B1C1D1 9 A3B3C3D3 A2B2C2D2 9 49,99% C1  a C2  C2  C1 C2 C3 Cn i S Ci i 1,2,3,..... 1 2 3 ... ... T n  S  S  S  S  32 3 T  a