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1 Universit ́e Cadi Ayyad D ́epartement de Math ́ematiques Facult ́e des Sciences-Semlalia. Marrakech. Fili`ere SMA, Ann ́ee : 2021-2022 SMA–S5: TOPOLOGIE (I) T.D. No. 1 Exercice 1. (Une r ́evision sur les notions de borne sup ́erieure et de borne inf ́erieure) (1) Rappeler les d ́efinitions de borne sup ́erieure (inf ́erieure) d’un ensemble non vide de nombres r ́eels. (2) Soient A et B deux ensembles born ́es non vides de R. (i) Montrer que A + B, A ∪ B et A ∩ B sont born ́es, o`u A + B := {z = a + b : a ∈ A, b ∈ B}. (ii) V ́erifier que nous avons : 1. sup(A + B) = sup A + sup B ; 2. sup(A ∪ B) = max(sup A,sup B) ; 3. max(inf A, inf B) ≤ inf(A ∩ B) ≤ sup(A ∩ B) ≤ min(sup A,sup B), si A ∩ B 6= ∅ ; 4. inf(A ∪ B) = min(inf A, inf B). (3) Calculer sup A et inf A, pour A := {(−1)n n−1 n+2 : n ∈ N}. Exercice 2. Soit X = {a,b,c,d}. Lesquelles parmi les collections de sous-ensembles suivantes d ́eterminent une topologie sur X ? Justifier. 1. T1 := {∅,X,{a},{b},{a,c},{a,b,c},{a,b}}. 2. T2 := {∅,X,{a},{b},{a,b},{b,d}}. 3. T3 := {∅,X,{a,c,d},{b,c,d}}. Exercice 3. D ́eterminer toutes les topologies qu’on peut d ́efinir sur un ensemble X := {a,b} ayant deux ́el ́ements. Exercice 4. Soit X un ensemble non vide. Soit A,B ⊂ X deux parties propres de X (i.e., distinctes du vide et de X). On pose T := {∅,A,B,X}. Trouver les conditions n ́ecessaires et suffisantes sur A et B pour que T soit une topologie sur X. Exercice 5. On prend X := R. Soit T := {] − t,t[: t ∈ [0, + ∞]}. (1) Montrer que T est une topologie sur R. (2) On prend A := {0}∪]1,2[. Trouver l’adh ́erence de A, son int ́erieur et sa fronti`ere. (3) Soit B := {a} o`u a ∈ R. Trouver l’adh ́erence de A, son int ́erieur et sa fronti`ere. (4) Comparer T avec la topologie usuelle Tu de R. Exercice 6. Soit X un ensemble non vide. On appelle op ́erateur de fermeture sur X, toute fonction γ : P(X) → P(X) v ́erifiant les conditions suivantes: 1. Γ(∅) = ∅. 2. Si A ⊆ B, alors Γ(A) ⊆ Γ(B). 3. Pour tout A ⊆ X, on a A ⊆ Γ(A). 4. Pour tout A ⊆ X, on a Γ(Γ(A)) = Γ(A). 5. Pour tous A,B ⊆ X, on a Γ(A ∪ B) = Γ(A) ∪ Γ(B). On note FΓ := {F ⊂ X : Γ(F) = F} et on pose TΓ := {O ⊂ X : Oc ∈ FΓ}. Montrer que TΓ est une topologie sur X, pour laquelle A = Γ(A), pour tout A ⊂ X. Exercice 7. On rappelle qu’un ensemble E est dit fini si E est vide ou si E est non vide et il existe un entier entier n ≥ 1 tel que E est en bijection avec l’ensemble {1,2, . . . ,n}. On peut alors montrer que n est unique et qu’il ne depend que de E. Cet entier n se note Card(E) et s’appelle le cardinal de E ou encore, le nombre d’ ́el ́ements de E. Par convention on dit que Card(∅) = 0.
2 E est dit d ́enombrable ssi E infini et E est en bijection avec N (on dit aussi que E est ́equipotent `a N). E est dit au plus d ́enombrable ssi E est fini ou d ́enombrable. On prend E := R et on pose T := {U ⊂ R : U c := R \ U est au plus d ́enombrable } ∪ {∅}. (a) Montrer que T est une topologie sur R. (b) Montrer que la topologie T n’est pas s ́epar ́ee. Exercice 8. Soit X un ensemble non vide. (1) Soit (Ti∈I ) une famille de topologies sur X. On pose T := ∩i∈ITi . Montrer que T est une topologie sur X. (2) Soit A une famille non vide de parties de X. Montrer qu’il existe une plus petite topologie (on dit aussi la moins fine) sur X qui contient la famille A on l’appelle aussi la topologie engendr ́ee par A. On la notera τ (A). Exercice 9. Soit X un ensemble non vide et A une famille de parties de X stable par intersection finie et contenant X. Montrer que la plus petite topologie τ (A) contenant A (i.e.,la topologie engendr ́ee par A) est constitu ́ee par l’ensemble vide et par les parties non vides qui sont des r ́eunions d’ensembles de A, ou, de fa ̧con ́equivalente: O ∈ τ (A) ⇐⇒ O = ∅ ou bien O 6= ∅ et ∀x ∈ O, ∃S ∈ A : x ∈ S ⊂ O. Exercice 10. Soit X un ensemble non vide. Soient (E,d) un espace m ́etrique et f : X → E une application injective. Pour tous x,y ∈ X, on pose δf (x,y) = d(f(x),f(y)). a) Montrer que δf est une distance sur X. b) En d ́eduire que δ(x,y) = log( y x ) est une distance sur X :=]0,∞[. Exercice 11. Soit f : R → R une application. a) Donner une condition ncessaire et suffisante sur f pour que l’application df dfinie sur R 2 par df (x,y) := |f(x) − f(y)| soit une distance sur R. b) On suppose que f est bijective et croissante. Soit a ∈ R et r un rel > 0. Determiner la boule ouverte B(a,r). Exercice 12. On munit N ∗ de la distance d d ́efinie par d(n,m) := 1 n − 1 m . (a) Trouver les parties ouvertes de (N ∗ ,d). (b) La distance d est-elle topologiquement ́equivalente `a la distance discr`ete? (c) La distance d est-elle ́equivalente `a la distance induite par la valeur absolue sur R? Exercice 13. Soit (E,d) un espace m ́etrique. Consid ́erons les distances d1(x,y) = min{1,d(x,y)} et d2(x,y) = d(xy) 1+d(x,y) . (a) Montrer que d1 et d2 sont deux distances sur E. (b) Montrer que les distances d et d1 sont topologiquement ́equivalentes. (c) Montrer que les distances d et d2 sont topologiquement ́equivalentes. Exercice 14. Soit (E,d) un espace m ́etrique. Soit x ∈ E et Soit A une partie non vide de E. On appelle distance de x `a A le nombre d(x,A) := inf{d(x,a) : a ∈ A}. On note alors fA(x) := d(x,A) pour tout x ∈ E. Pour tout a ∈ E, on pose fa(x) := d(x,a). a) Montrer que d(x,A) = d(x,A). b) Montrer que: d(x,A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A. (A est l’adh ́erence de A). c) Soit B ⊂ E. Montrer que B ⊂ A ⇐⇒ fA(x) ≤ fB(x) pour tout x ∈ E. d) Montrer que fa et fA sont Lipschitziennes sur E (et donc uniform ́ement continues sur E). ——————-
Universit ́e Cadi Ayyad D ́epartement de Math ́ematiques Facult ́e des Sciences-Semlalia. Marrakech. Fili`ere SMA, Ann ́ee : 2021-2022 SMA–S5: TOPOLOGIE (I) T.D. No. 2. Exercice 1. Soit E := {f ∈ C 1 ([0, 1], R) ; f(0) = 0}. On pose ||f|| = sup 0≤x≤1 |f(x) + f 0 (x)|, et N (f) = sup 0≤x≤1 |f(x)| + sup 0≤x≤1 |f 0 (x)|. (a) Montrer que ||.|| et N sont deux normes sur E. (b) Etudier l’ ́equivalence de ces deux normes sur E. Exercice 2. Soit E = C ([0, 1], R). Pour f ∈ E, on pose kfk1 := Z 1 0 |f(t)| dt, kfk2 := (Z 1 0 |f(t)| 2 dt) 1 2 , kfk∞ := sup t∈[0,1] |f(t)| dt. On consid`ere la suite (fn) d ́efinie par fn(t) = ( 1 − nt si t ∈ [0, 1 n ]; 0 si t ∈ [ 1 n , 1]. Calculer kfnk1 , kfnk2 , kfnk∞ et en d ́eduire que deux quelconques de ces trois normes ne sont pas ́equivalentes. Exercice 3. Soit (E, d) un espace m ́etrique. On rappelle qu’une partie B de E est dite born ́ee si B est contenue dans une boule ferm ́ee de E. On rappelle que le diam`etre d’une partie B de E est le nombre (dans [0, +∞]) donn ́e par : diam (B) = sup{d(a, b) : (a, b) ∈ B × B}. Soit A une partie (non vide) de E. (i) Montrer que A est born ́ee ⇐⇒ A est born ́ee. (ii) Montrer que A est born ́ee ⇐⇒ diam (A) < ∞. (iii) Montrer que diam (A) = diam (A). (iv) Soit x ∈ E et r r ́eel > 0. Calculer diam (B(x, r)) dans le cas o`u E est un evn. Exercice 4. Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm ́e sur R ou C. 1. Soit a ∈ E et r > 0. Montrer que B(a, r) = a + rB(0, 1). 2. En d ́eduire que pour tout couple (a, b) de points de E et tout couple (r, ρ) de r ́eels stricte- ment positifs, on a B(a, r) + B(b, ρ) = B(a + b, r + ρ). 3. Pour tout couple (a, b) de points de E et tout couple (r, ρ) de r ́eels strictement positifs, montrer que B(a, r) = B(b, ρ) ⇐⇒ a = b et r = ρ. 4. Applications : (a) Soit F un sous-espace vectoriel de E distinct de E. Montrer que F est d’int ́erieur vide. (b) Soit C un convexe de E. Montrer que l’int ́erieur de C est convexe. Exercice 5. Soient (E, T1) et (F, T2) deux espaces topologiques et f : E → F une application. Montrer que les assertions suivantes sont ́equivalentes. (i) La fonction f est continue sur E. (ii) ∀A ⊂ E, f(A) ⊂ f(A). (iii) ∀B ⊂ F, f −1 (B) ⊂ f −1 (B). Exercice 6. Soient (X, TX) et (Y, TY ) deux espaces topologiques et f : X → Y une applica- tion. Supposons que X = A ∪ B o`u A et B deux sous ensembles non vides de X.
2 (1) Montrer que si f est continue, alors les restrictions f|A et f|B sont continues (A et B sont munis de la topologie induite). (2) Montrer que la r ́eciproque n’est pas vraie en g ́en ́eral. (3) Montrer que si A et B sont ouverts (ou ferm ́es) alors la r ́eciproque est vraie, i.e. si f|A et f|B sont continues alors f est continue sur X. Exercice 7. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces m ́etriques. Soit f : E → F une application. On note Γ(f) := {(x, f(x)) : x ∈ E} le graphe de f. On munit E × F de la topologie produit (issue de la distance produit ρ d ́efinie par: ρ((x, y),(x 0 , y0 )) := d(x, x0 ) + δ(y, y0 ), pour tous (x, y),(x 0 , y0 ) ∈ E × F). On suppose que f est continue sur E. 1) Montrer que Γ(f) est ferm ́e dans E × F. 2) Montrer que Γ(f) est hom ́eomorphe `a E. Exercice 8. Soient (X, TX) un espace topologique et f : X → R une application. Montrer que les assertions suivantes sont ́equivalentes: 1) f est continue (sur X). 2) Pour tout λ ∈ R, les ensembles {x ; f(x) < λ} et {x ; f(x) > λ} sont des ouverts de X. Exercice 9. Soit (E, d) un espace m ́etrique. Soit A une partie non vide de E. Soient F1 et F2 deux ferm ́es disjoints (non vides) dans (E, d). On rappele que l’application x 7→ d(x, A) est 1-Lipshitzienne. Montrer qu’il existe une fonction f continue sur E telle que f = 1 sur F1, f = 0 sur F2 et 0 ≤ f(x) ≤ 1 pour tout x ∈ E. Indication: consid ́erer la fonction d ́efinie pour tout x ∈ E, par f(x) := d(x,F2) d(x,F1)+d(x,F2) . Exercice 10. Soit (E, k.k) un evn. Soient f et g deux applications de E dans R uniform ́ement continues sur E. (i) Montrer que si f et g sont born ́ees (sur E) alors le produit f.g est uniform ́ement continue sur E. (ii) Soit E := R muni de la valeur absolue. Soit f(x) = x et g(x) = sin(x). Le produit f.g est-il uniform ́ement continu sur E ? Exercice 11. Soit X =]0, +∞[. muni de la distance δ d ́efinie pour tous x, y ∈ X, par δ(x, y) = 1 x − 1 y . L’espace m ́etrique (X, δ) est-il complet ? Exercice 12. Soit X un ensemble non vide. Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm ́e sur K = R ou C. Notons B(X, E) l’epace des fonctions f : X → E qui sont born ́ees. Pour tout f ∈ B(X, E), on pose kfk∞ := supx∈X kf(x)k. a) Montrer que k.k∞ est une norme sur B(X, E). b) Montrer que si E est complet, alors B(X, E) est complet. c) Notons l ∞ K (N) l’espace des suites born ́ees `a valeurs dans K muni de la norme kxk∞ := supn≥0 |xn| , ∀x ∈ l ∞ K (N). En d ́eduire que l’espace l ∞ K (N) est de Banach. Exercice 13. Soit E = C([0, 1], R) l’espace des fonctions continues r ́eelles sur [0, 1] muni de la norme kfk∞ := supx∈[0,1] |f(x)|. Nous rappelons que l’espace (E, k.k∞) est un e.v.n complet sur R. On consid`ere l’aplication Φ d ́efinie sur E par Φ(f)(x) := 1 4 R x 0 f(t) 3 dt+ 1 2 , ∀x ∈ [0, 1]. (a) Montrer que Φ(E) ⊂ E et que Φ est continue sur E. (b) Montrer que si B ̄ est la boule unit ́e ferm ́ee de E alors Φ(B ̄) ⊂ B ̄. (c) Montrer qu’il existe un unique f0 ∈ B ̄ telle que Φ(f0) = f0. (d) Pour tout entier n ≥ 1, on pose fn(x) := x n 1+xn2 . Etudier la convergence de la suite (fn) dans l’espace (E, k.k∞).