Title Chương 7_Bài 2_ _Đề bài_Toán 11_CTST.pdf ✅

BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Đạo hàm của hàm số * , n y x n =  Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 5 y x = tại điểm x = 2 và 1 2 x = − . Lời giải Ta có ( ) 3 4 x x ' 5 = . Từ đó, ( ) 4 y ' 2 5.2 80 = = và 4 1 1 5 ' 5 2 2 16 y         − =  − =     . Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số 10 y x = tại x =−1 và 3 x = 2 . Lời giải Ta có: 10 9 ( ) x x  =10 Từ đó: 9 9 3 1 10. 1 10, 2 – 3 10. 80 y y  − = − = −  = = ( ) ( ) ( ) ( 2) 2. Đạo hàm của hàm số y x = Hàm số y x = có đạo hàm trên khoảng (0;+) và ( ) 1 2 x x  = Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y x = tại điểm x =1 và 1 4 x = . Lời giải Ta có ( ) 1 , 0 2 y x x x   = =  . Từ đó, ( ) 1 1 1 2 1 2 y  = = và 1 1 1 1 4 1 1 2 2. 4 2 y    = = =     . Luyện tập 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x = tại điểm có hoành độ bằng 4. Lời giải Ta có: ( ) 1 2 y x x   = = Khi x = 4 thì y = = 4 2 Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 4 là: 1 1 1 2 2 4 x 4 = = Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (4;2) là: ( ) 1 2 4 4 y x − = − hay 1 1 4 y x = + Nhận xét: a) Cho số thực  . Hàm số y x  = được gọi là hàm số lũy thừa (với tập xác định (0;+) ). Công thức ( ) n n 1 x nx  − = còn đúng khi n là số thực, tức là với số thực  bất kì ( ) 1 x x     − = ( x  0 ). Với 1 2  = , ta nhận được công thức đã biết: ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 x x x x x − −  = = = =  ( x  0 ). b) Ở bài học trước, dùng định nghĩa ta tìm được các công thức đạo hàm: Hàm số n y x = với * n có đạo hàm trên và ( ) 1 ' n n x nx − = .
• (C) 0  = ( C là hằng số); • 2 1 1 x x    = −     ( x  0 ). Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số 3 y x = tại điểm x = 8. Lời giải Ta có ( ) 1 1 2 1 3 3 3 3 3 2 1 1 1 ( ) 3 3 3 y x x x x x − −    = = = = = . Từ đó, ( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 1 1 1 1 8 3 8 3.2 12 3 2 y  = = = = . Luyện tập 3. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) 4 y x = tại x =1 ; b) 1 y x = tại 1 4 x = − . Lời giải a) Với x  0 , ta có: 1 1 3 1 4 4 4 4 3 4 4 ( ( 1 1 ) ) 1 4 4 y x x x x x − −  = = = = =   Từ đó: 4 3 1 1 1 4 4 ( 1 y = = ) b) Ta có: 1 1 1 2 2 ( 1 ) 1. 1 y x x x x x − − − −    −  = =  = − = − =     Từ đó, 2 1 16 4 1 4 1 y −  = = −        −      3. Đạo hàm của hàm số lượng giác Ta có công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác sau: (sin cos x x )  = ; (cos sin x x )  = − ; ( ) 2 1 tan cos x x  = ( , 2 x k k   +   ); ( ) 2 1 cot sin x x  = − ( x k k   , ). Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y x = cos tại 6 x  = . Lời giải Ta có y x x (cos sin )   = = − . Vậy 1 sin 6 6 2 y      = − = −     . Luyện tập 4. Tính đạo hàm của hàm số y x = tan tại 3 4 x  = . Lời giải Ta có: ) 1 2 y tanx ( cos x  =  =
Vậy 2 3 1 2 4 3 4 y cos      = =           4. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit Ta có công thức đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit sau: ( ) x x e e  = ; ( ) 1 ln x x  = ( x  0 ) ( ) ln x x a a a  = ( a a   0, 1 ); ( ) 1 log ln a x x a  = ( x  0 , a  0 , a 1 ) Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) x y e = tại x = 2ln3 ; b) 5 y x = log tại x = 2 . Lời giải a) Ta có ( ) x x y e e   = = . Từ đó, ( ) ( ) 2 2 ln 3 ln 3 2 y e e  2ln3 3 9 = = = = . b) Ta có ( 5 ) ( ) 1 log 0 ln5 y x x x   = =  . Từ đó, ( ) 1 2 2ln5 y  = . Luyện tập 5. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) 9 x y = tại x =1 ; b) y x = ln tại 1 3 x = . Lời giải a) Ta có: 9 9 . 9 ( )x x y ln  =  = Suy ra 1 y ln ln  = = ( )1 9 . 9 9. 9 b) Ta có: ( 1 y lnx) x  =  = Suy ra 1 1 3 3 1 3 y    = =     5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số Cho hai hàm số u x( ) , v x( ) có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Ta có: • (u v u v )  + = +  • (u v u v )  − = −   • (u v u v uv . )  = +   (1) • 2 u u v uv v v      − =     (với v v x =  ( ) 0 ) (2) Chú ý: • Với u C= ( C là hằng số), công thức (1) trở thành (C v C v . . )  =  . • Với u =1 , công thức (2) trở thành 2 1 v v v     = −     (với v v x =  ( ) 0 ) Ví dụ 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 2 y x x = − + 3 4 2 ; b) y x x = sin ; c) 3 2 2 1 x y x + = − . Lời giải a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0 3.2 4.1 6 4 x x x x x x x x       − + = − + = − + = − = − . b) ( x x x x x x x x x x x sin .sin . sin 1.sin .cos sin cos ) ( )   = + = + = +  . c) ( ) ( ) 2 2 3 2 (3 2) .(2 1) (3 2).(2 1) 3(2 1) (3 2).2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x    + + − − + − − − +   = =     − − − . 2 2 6 3 6 4 7 (2 1) (2 1) x x x x − − − = = − − − . Ví dụ 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 3 x y x = ; b) cos x y x = . Lời giải a) 2 2 2 2 ( 3 )' ( )'.3 .(3 )' 2 .3 .3 ln3 3 (2 ln3) x x x x x x x x x x x x x = + = + = + . b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 cos sin .cos cos 2 cos 2 sin cos cos cos 2 cos x x x x x x x x x x x x x x x x x    − −   − +   = = =     . Luyện tập 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 y x x = log ; b) 3 x y x e = . Lời giải 2 2 2 2 2 1 1 . . . 2 ) ( ) ) . 2 l ( n a y xlog x x log x x log x log x x log x x ln  =  =  +  = + = + b) 3 3 3 2 3 ( ) ( ) ( ) . . 3 . x x x x x y x e x e x e x e x e  =  =  +  = + 6. Đạo hàm của hàm hợp Cho u g x = ( ) là hàm số của x xác định trên khoảng (a b; ) và lấy giá trị trên khoảng (c d; ) ; y f u = ( ) là hàm số của u xác định trên khoảng (c d; ) và lấy giá trị trên . Ta lập hàm số xác định trên (a b; ) và lấy giá trị trên theo quy tắc sau: x f g x → ( ( )) Hàm số x f g x → ( ( )) được gọi là hàm hợp của hàm số y f u = ( ) với u g x = ( ).