Title CHƯƠNG IV. CHÙM BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM, ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TIẾP TUYẾN CẮT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

và ,HO do //MOAH (cùng vuông góc với ).BC Theo định lý Thales ta có: 1 2 AGMO G GMAH là trọng tâm của tam giác ABC và ,,HGO thẳng hàng. Do 1 3. 2 GOOM HOGO GHAH (Đường thẳng qua ,,HGO gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ).ABC 4. Các đường thẳng ,,AHBHCH kéo dài cắt O tại giao điểm thứ 2 là ,,PQR khi đó: ,,PQR là các điểm đối xứng với H qua ,,.BCCAAB Chứng minh: Vì AN là đường kính của O nên 090//.APNPNDM Lại có M là trung điểm HN (chứng minh ở 3). Suy ra DM là đường trung bình của tam giác HPN suy ra D là trung điểm của .HP Nói cách khác P là điểm đối xứng với H qua .BC Chứng minh tương tự ta cũng có: ,QR là các điểm đối xứng với H lần lượt qua ,.CAAB 5. ,OAEF tam giác ARQ cân. Chứng minh: Dựng tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có AxOA (4). Ta cũng có xACABC (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). Mặt khác tứ giác BFEC nội tiếp nên AEFABC từ đó suy ra xACAEF hay //EFAx (5). Từ (4) và (5) suy ra .EFOA Chú ý rằng EF là đường trung bình của tam giác HQR nên //QREFQROA suy ra OA vuông góc với QR tại trung điểm của QR nên tam giác AQR cân tại .A 6. Đường thẳng EF kéo dài cắt đường tròn O lần lượt tại 11,EF ( E nằm giữa 1E và ).F Khi đó: 11,,AEAF lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp các tam giác 11,.CEEBFF Chứng minh: Theo chứng minh ở câu 5 ta có 11////EFQREFQR suy ra tam giác 11AFE cân tại A nên  1111.AFEAEF Mặt khác  1111111.AEFABEAFEABF Suy ra 1AF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.BFF Chứng minh tương tự ta cũng có: 1AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.CEE Chú ý rằng: Từ chứng minh trên ta cũng có các hệ thức đẹp: 2 1...AFAFABAHAD 2 1...AEAEACAHAD 7. Gọi ,,,XYZT lần lượt là trung điểm của ,,,.ABACHCHB Khi đó 9 điểm ,,,,,,,,DEFXYMIZT cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của OH (gọi là đường tròn Ơle của tam giác ).ABC
Chứng minh: Ta có IZ là đường trung bình của tam giác 1 //, 2ABHIZAB YM là đường trung bình tam giác ABC nên 1 //. 2YMAB Từ đó suy ra //IZYMIZMY là hình bình hành. Lại có ZM là đường trung bình của tam giác BHC nên //ZMCH mà ABCH suy ra ZMIZ vậy tứ giác IZMY là hình chữ nhật nên hai đường chéo ,IMZY cắt nhau tại trung điểm J của mỗi đường. Tương tự ta cũng chứng minh được các tứ giác ,XITMXYTZ là các hình chữ nhật nên suy ra các đường chéo ,,IMZYTX đồng quy tại trung điểm J của mỗi đường. Chú ý rằng: ,,IDMZEYTFX lần lượt vuông tại ,,DEF nên tâm vòng tròn ngoại tiếp chính là trung điểm J của các cạnh huyền tương ứng. Suy ra 9 điểm ,,,,,,,,DEFXYMIZT cùng nằm trên đường tròn tâm .J Ta cũng có: 1 //// 2OMAHIH nên tứ giác IHMO là hình bình hành, suy ra hai đường chéo ,IMHO cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Nói cách khác điểm J cũng chính là trung điểm của .HO Chú ý rằng: Nếu chứng minh mỗi bộ 4 điểm trong số 9 điểm nêu trên nằm trên một đường tròn thì ta có thể làm đơn giản hơn như sau: Ví dụ: Chứng minh tứ giác DMEF nội tiếp. Ta có: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC nên 2EMFEBF (tính chất góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung). Mặt khác theo 2) ta đã chỉ ra 22EDFHDFEBF suy ra  EMFEDF hay tứ giác DMEF nội tiếp (các đỉnh liên tiếp ,DM cùng nhìn cạnh EF một góc bằng nhau). 8. K là trực tâm của tam giác .IBC Chứng minh: Để chứng minh K là trực tâm của tam giác IBC ta chứng minh: .CKIB Ta sẽ chứng minh: 090.IBCKCB Ta có: 090IBCIBEEBCIBEACB (5) Để ý rằng: 4 điểm ,,,AEFH nằm trên đường tròn tâm I là trung điểm của AH nên  22EIHEAHPBCPBE (do H đối xứng với P qua ).D Suy ra tứ giác EIBP nội tiếp nên  IBEIPE (6). Ta cũng có: AEFABCAPC nên tứ giác EKPC nội tiếp suy ra  IPEKPEKCEACBKCB (7). Từ (6) và (7) suy ra IBEACBKCB thay vào (5) ta có: 0 90.IBCKCB Từ đó suy ra 090IBCKCB vậy KCIB kết hợp với IKBC suy ra K là trực tâm tam giác .IBC Ngoài ra ta cũng có thể làm theo cách sau: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC cắt IC tại 1K theo tính chất Quen thuộc về tiếp tuyến cát tuyến ta có: 2 1.IKICIE (1’) mặt khác ta cũng có 5 điểm ,,,,IFDME nằm trên cùng một đường tròn nên IEFIDFIDE suy ra 2 .IEKIDEIEIKID∽ (2’). Từ (1’), (2’) suy ra 1..IKICIKID suy ra tứ giác 1DKKC nội tiếp. Nên 0 190.KKC Lại có 0 190BKC (Do 1K nằm trên đường tròn đường kính ),BC từ đó suy ra 1,,BKK thẳng hàng hay KBIC kết hợp với IKBC đpcm. 9. ,MEMF là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .AEF
Chứng minh: Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có tâm là trung điểm I của .AH Ta có IAEIEA (8), tam giác MEC cân tại M nên MECMCE (9), 090IAEMCE (10). Từ (8), (9), (10) suy ra 090IEAMEC hay 090IEM tức là ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .AEF Chứng minh tương tự ta cũng có MF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .AEF 10. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt O tại T ( T khác )A thì ,,MHT thẳng hàng Chứng minh: Ta thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF chính là I đường kính .AH Vì đường tròn O cắt I tại giao điểm thứ 2 là T nên 0 90HTA và 090,,NTANHT thẳng hàng. Mặt khác theo 3) ta đã chứng minh: ,,NMH thẳng hàng. Từ đó suy ra ,,MHT thẳng hàng. 11. Đường thẳng RD kéo dài cắt đường tròn O tại 1D thì 1AD đi qua trung điểm của .DE Chứng minh: Xét tam giác FHD và tam giác AED ta có:  ,DFHDAE FDHADE nên FDHAED∽ suy ra ,FHAE HDED gọi 1A là trung điểm của 1AD thì FHAE HDED 1 1 2 2 RH AE HDEA 1 1 RHAE RHDAEA HDEA∽ nên  1,DRHAAE mặt khác  1DRHDAC suy ra  11DACAAE hay 11AAAD tức là 11,,AAD thẳng hàng. 12. Đường thẳng 1KE cắt BC tại 1K thì 11.AKHE Chứng minh: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt 1AK tại giao điểm thứ 2 là 1H suy ra 0 190AHH nên 11HHKD là tứ giác nội tiếp. Theo 6) cũng chứng minh được: 2 111....AHAKAHADAEACAE Tam giác 11AEK vuông tại 1E có 2 111.AEAHAK nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta suy ra 111EHAK (đpcm). 13. Đường thẳng AT cắt BC tại 1B thì 1,,EFB thẳng hàng. Chứng minh: